命題
(X, Φ, μ) を 測度空間(過去スレ007の317) とする。

f : X → [0, +∞] を可測関数で、
S(f) = {x ∈ X ; f(x) ≠ 0 } の測度は σ-有限(過去スレ007の448)
ではないとする。

このとき Φ上の単関数(過去スレ007の371) g で 0 ≦ g ≦ f となり、
∫[X] g dμ = +∞ となるものが存在する。

証明
本命題のような単関数が存在しないとする。

過去スレ007の304より、
次の条件を見たす可測で有限な単関数 g_n が存在する。

1) 0 ≦ g_1 ≦ g_2 ≦ . . . ≦ f
2) 任意の x ∈ X において、n → ∞ のとき g_n(x) → f(x)

仮定より、∫[X] g_n dμ ＜ +∞ であるから S(g_n) の測度は
有限である。
過去スレ007の551より S(f) の測度は σ-有限となる。
これは矛盾である。
証明終