補題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

E をμ-可測な集合で μ(E) = +∞ とする。
実数 a ＞ 0 と f ∈ I+(X) (>>119) があり、
任意の x ∈ E に対して a ＜ f(x) とする。

このとき、
sup { L(g) | g ≦ f, g ∈ K+(X) } = +∞

証明
>>124 より E ⊂ U となる開集合 U で
任意の x ∈ U に対して a ＜ f(x) となるものが存在する。

>>56 より μ は準正則(>>40)だから、
μ(U) = sup {μ(K) | K ⊂ U, コンパクト集合 K }

E ⊂ U だから μ(E) ≦ μ(U) であり、μ(U) = +∞ である。
よって、任意の c ＞ 0 に対して c ＜ μ(K), K ⊂ U となる
コンパクト集合 K が存在する。
過去スレ007の706 より、
このとき、連続関数 h : X → [0, 1] で、h ∈ K+(X),
K で 1, X - U で 0 となるものが存在する。
g = ah とおけば、g ∈ K+(X) で g ≦ f である。
a(χ_K) ≦ g だから ∫[X] a(χ_K) dμ ≦ ∫[X] g dμ

∫[X] a(χ_K) dμ = aμ(K) だから aμ(K) ≦ ∫[X] g dμ
c ＜ μ(K) より、ac ≦ ∫[X] g dμ
c ＞ 0 は任意だから、sup { L(g) | g ≦ f, g ∈ K+(X) } = +∞
証明終