補題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

μ-可測な集合全体を Φ とき、
Ψ = { A ∈ Φ | μ(A) ＜ +∞ } とおく。
s を R = [0, +∞) に値をとる
Ψ 上の単関数(過去スレ007の371)とする。
f ∈ I+(X) (>>119) があり、s ≦ f とする。

任意の ε ＞ 0 に対して
|∫[X] s dμ - ∫[X] g dμ| ＜ ε となる g ∈ K+(X) で
g ≦ f となるものがある。

ここで、K+(X) は過去スレ007の713で定義したものである。

証明
∫[X] s dμ = 0 なら やはり g = 0 とすればよい。
従って ∫[X] s dμ ≠ 0 と仮定する。
従って s ≠ 0 である。

s = Σ(a_i)χ_(E_i), i = 1, . . . n, a_i ＞ 0,
i ≠ j なら E_i ∩ E_j = φ とする。

M = max{a_1, . . . , a_n} とおく。
S = max{μ(E_1), . . . , μ(E_n)} とおく。
s ≠ 0 だから M ＞ 0
∫[X] s dμ ≠ 0 だから S ＞ 0

(続く)