命題
X を位相空間、(f_λ), λ ∈ Λ を X から R~ = [-∞, +∞] への
下半連続関数(>>113)の族とする。

f = sup{f_λ | λ ∈ Λ} は下半連続である。

証明
任意の a ∈ X を固定する。

f(a) = -∞ のとき、c ＜ f(a) となる(有限) 実数は存在しない。
よってこの場合は自明である。

f(a) ≠ -∞ のとき c を c ＜ f(a) となる任意の(有限) 実数とする
c ＜ f_λ(a) ≦ f(a) となる λ ∈ Λ がある。

a の近傍 U があり
x ∈ U のとき c ＜ f_λ(x) ≦ f(x)
証明終