命題
X を位相空間、A を X の部分集合とする。
A の特性関数 χ_A が下半連続(>>113)であるためには、
A が開集合であることが必要十分である。

証明
c ≧ 1 のとき {x ∈ X | χ_A(x) ＞ c } = φ
1 ＞ c ≧ 0 のとき {x ∈ X | χ_A(x) ＞ c } = A
0 ＞ c のとき {x ∈ X | χ_A(x) ＞ c } = X

これから明らかである。
証明終