命題
X を局所コンパクト空間とする。
L を M+(X) (過去スレ007の715) の任意の元とする。
μ を L から誘導された測度(>>36)とする。

U を X の開集合とする。

μ(U) = sup{L(f) | 0 ≦ f ≦ χ_U, f ∈ K+(X)}

ここで、K+(X) は過去スレ007の713で定義したものである。

証明
0 ≦ f ≦ χ_U, f ∈ K+(X) とする。
∫[X] f dμ ≦ ∫[X] χ_U dμ = μ(U) となる。
Riesz の表現定理(>>50)より、L(f) = ∫[X] f dμ であるから
L(f) ≦ μ(U) である。

>>56 より μ は準正則(>>40)だから、
c ＜ μ(U) となる任意の実数 c に対して c ＜ μ(K), K ⊂ U
となるコンパクト集合 K がある。

過去スレ007の703 より、K ⊂ V ⊂ V~ ⊂ U となる開集合 V で V~ が
コンパクトとなるものが存在する。
過去スレ007の706より、連続関数 f : X → [0, 1] で、
K の上で 1、X - V~ で 0 となるものが存在する。

χ_K ≦ f ≦ χ_U だから
∫[X] χ_K dμ ≦ ∫[X] f dμ
即ち、μ(K) ≦ L(f)
よって c ＜ L(f)
証明終