命題
X を局所コンパクト空間とし、
μ を X 上の Borel 測度(>>18)とする。

全てのコンパクト集合が μ に関して外正則(>>19)なら、
全ての狭義の Borel 集合(過去スレ007の836)は外正則である。

証明
E を狭義の Borel 集合とする。
過去スレ007の837 より
E ⊂ ∪K_n, n = 1, 2, . . . となるコンパクト集合 K_n がある。
E = ∪(E ∩ K_n) である。

>>99 より E ∩ K_n は K_n における狭義の Borel 集合である。
K_n はコンパクトだから >>101 より E ∩ K_n は
K_n における Borel 集合である。
K_n に含まれるコンパクト集合は、明らかに K_n において外正則である。
従って >>92 より E ∩ K_n は K_n において外正則である。
よって >>102 より E ∩ K_n は X においても外正則である。
E = ∪(E ∩ K_n) だから、>>80 より E も外正則である。
証明終