命題
X を局所コンパクト空間とし、
μ を X 上の Borel 測度(>>18)とする。

K を X のコンパクト集合とする。
K が外正則で、
E ⊂ K が K において外正則であるなら X においても外正則である。

証明
ε ＞ 0 を任意の実数とする。
K ⊂ U となる開集合 U で
μ(U) ＜ μ(K) + ε
となるものがある。

E ⊂ V となる開集合 V で
μ(K ∩ V) ＜ μ(E) + ε
となるものがある。

E ⊂ K ∩ V ⊂ U ∩ V

(U ∩ V) - (K ∩ V) ⊂ U - K
よって
μ(U ∩ V) - μ(K ∩ V) ≦ μ(U - K) = μ(U) - μ(K) ＜ ε

μ(K ∩ V) - μ(E) ＜ ε と併せて
μ(U ∩ V) - μ(E) ＜ 2ε
証明終