命題
X をσ-コンパクト(>>100)な局所コンパクト空間とする。

X における狭義の Borel 集合と Borel 集合は同じものである。

証明
閉集合全体をΩとし、コンパクト集合全体をΓとする。
>>94 の記法で S(Ω) = S(Γ) を証明すればよい。

仮定より、
X = ∪K_n, n = 1, 2, . . . となるコンパクト集合 K_n がある。
従って、X ∈ S(Γ) である。

F を X の任意の閉集合とする。
F = ∪(F ∩ K_n) である。
F ∩ K_n はコンパクトだから F ∈ S(Γ) である。
即ち、Ω ⊂ S(Γ) である。
よって
S(Ω) ⊂ S(Γ) である。
他方、Γ ⊂ Ω だから、
S(Γ) ⊂ S(Ω) である。
証明終