正の実数r,tに対し点(t,t)を中心とし一辺が2rtの正方形をＳとする。
Ｓの各辺はx軸とy軸に平行である。このとき、Ｓとy=logxが共有点をもつようなtが存在するためのrの条件を求めよ。

正方形の右下の点(t+rt,t-rt)がlog(t+rt)よりも下にある、すなわち
log(t+rt)≧t-rt　である条件を考えました。
f(t)=log(t+rt)-(t-rt)とするとf'(t)=(1-t+rt)/t
f'(t)≧0を計算するとt(1-r)≧1となったので1-rの正負で場合分け、
(1)0<r<1　のとき
増減を調べるとt>0の範囲で最大値はf{1/(1-r)}で、これが0以上になるrは1>r≧(e-1)/(e+1)
(2)r≧1　のとき
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ここからがわかりません
直感的になりますが、r≧1ならば図を見るとt≧1/2の時必ずＳと曲線は交わるので、
r≧1のとき、Ｓとy=logxが共有点をもつようなtが存在することは明らかだと思うのですが、どうでしょうか。