nを自然数の定数、rを正の有理数の定数とするとき、
Σ[k=1,n]1/x_(k)＝rをみたす自然数x_(k)の組｛x_(1),x_(2),x_(3),・・・・,x_(n)｝の個数は有限であることを示せ

という問題について、次のように考えました。自分では結構ありなんじゃないかと思ったんですけど、どうでしょうか？

数列｛x_(k)｝(k=1,2,3,・・・・,n)のうち最小のものをx_(j_(n))とする
r＝Σ[k=1,n]1/x_(k)≦n*1/x_(j_(n))⇔x_(j_(n))≦n/r
よって、x_(j_(n))はn/rを満たす自然数のいずれかでしかない

さらに、数列｛x_(k)｝(k=1,2,3,・・・・,n-1)のうち最小のものをx_(j_(n-1))
（r-1/x_(j_(n))=） r’＝Σ[k=1,n-1]1/x_(k)≦(n-1)*1/x_(j_(n-1))⇔x_(j_(n-1))≦(n-1)/r’
∴x_(j_(n-1))は(n-1)/r’を満たす自然数のいずれか

同様の議論を繰り返すことで、条件を満たす自然数x_(k)の組｛x_(1),x_(2),x_(3),・・・・,x_(n)｝が無限に存在するとはいえない
したがって題意は示された

解答では帰納法で示していました。東工大の問題で帰納法で示すと書いただけで10点貰えた？とか言われてる問題かなと思ったんですが
自分の近くで間違いが聞ける人がいないので聞いてみました