あなたの定義を聞いてから書き込むべきかもしれませんが、、、ついでなのですみません。
>公理の正しさの議論が必要なので
公理の正しさを議論する必要はありません。公理（前提）が同じものが理論的に話し合うから両者が同じ結論に達するのですよね？
前提の違うものが理論的に話しあっても同じ結論にならないのは当たり前です。
理論的に話あう事の意味は、
前提が同じもの同士が、違う結果を得た。さてどちらが正しいのか？話し合ったら一方が間違っている事が分かった。
という場合や、
我々は違う結果だが何故だろう？理論的に話し合ったら、前提が互いに異なる事が原因だと分かって理解しあえた。
という場合では無いでしょうか？
もちろん、前提が互いに異なる事に納得出来なければ、なぜ、そのような前提（一方の前提を公理Ａとします）を採択するのか話し合う事になります。
この場合も、理論的に話しあうのならば、やる事は同じです。別の前提（公理Ｂ、Ｃ，Ｄ）を立てて、それから公理Ａが導かれる事
を示すわけです。（この場合、公理Ａは公理ではなく、ＢＣＤから導かれる定理Ａになりますが。）
両者が同じ公理ＢＣＤに同意する限りにおいては、両者とも同じ定理Ａを認めることになります。
どこまで繰り返しても前提（公理）が違うもの同士が理論的な話し合いで同じ結論に達する事はありません。
それが嫌なら抱き合うなどして感情的に理解しあうしかないでしょう。