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sin(mx)
=sin((m-2)x)*cos(2x)+cos((m-2)x)*sin(2x)
=sin((m-2)x)*{1-2sin^2(x)}+cos((m-2)x)*2sin(x)cos(x)
ゆえ
sin(mx)/sin(x)
=sin((m-2)x)/sin(x)-2sin((m-2)x)*sin(x)+2cos((m-2)x)*cos(x)
=sin((m-2)x)/sin(x)+2cos((m-1)x)

mの偶奇で場合わけはいりそう。