代数学総合スレッド Part4
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0001１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 09:00:00代数学総合スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/
代数学総合スレッド Part2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/
代数学総合スレッド part3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1116279106/
0768１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 09:29:30代数幾何は、代数方程式の解をグラフを見て調べるという、古来から続く基本的な問題に挑戦する分野。数を扱うには避けてとおれない。もともとかなり具体的な問題からはじまる。手法としての必要性から抽象度がましているだけ。
可換代数は、公理からして抽象度が高い。もともと抽象度を高めるというのは応用目的があって行なっているもの。
他の問題や物理に応用できてはじめて抽象性がいきてきておもしろいのであって、それ自体は古来からの基本的な疑問を直接扱っているわけではない。
なんども言うが、どちらが重要と言うのではない。重要性の根拠の話。臨床医と研究医どちらが重要か、みたいな愚問
0769１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 09:34:48それこそ数を扱うには避けて通れない古典的な問題から
出発してるわけだが。
むしろ、現代数学の文脈における代数幾何は
>>768の言うような内容とは相当かけ離れてるわけで。
0770１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 09:37:06可換代数も代数幾何も根っこの部分はともに
> 代数方程式の解を調べるという、古来から続く基本的な問題に挑戦する分野。
なわけだが……
0771１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 09:53:32必要性がでてから学ぶというのはただしい勉強法のひとつでしょう
ただし学部の代数の授業や教科書で、たとえば射影加群とかネーターでてくるでしょ。言葉定義して命題とその証明を数ページ書いておわり程度。すごく中途半端な気がする
代数専攻で博士進学することを前提にしているわけではない学部学生に教えている意味は？
0772１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 10:07:49共通部分は線型代数群の表現論とその周辺を
すっぽり含む感じか。
0773１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 10:11:15まるで
> 代数専攻で博士進学することを前提にしているわけではない学部学生
が居てもどうでもいいと言わんばかりに読めるが。
大学生なら講義でやる内容のその先は
自分で考えるもんだろ、自分に無関係なら
それでオシマイになるだけ。
学部ではただ「鉛筆の握り方」を習ってるのに過ぎない。
その鉛筆で絵を描くのか小説を書くのかは
好きにすればいいじゃないか。
0774１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 15:24:16数学は個別の単元に具体的な用途がなくたっていいんだ、美しければ
言葉の定義だけで終わるなんて中途半端
0775１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 15:38:41中途半端でいやなら自分で絵の勉強すればいい。
優秀な作家なら、かつて見聞きした絵筆を
うまく取り込んだ作品を書き下ろして直木賞でも
とるかもしれん。それだけのこと。
0776１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 15:40:23その講義の単位をあきらめりゃいいだろ。
好きで履修しといてナニイッテンダ。
0777１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 16:00:16でも代数の入門講義って、幾何や解析や情報系を将来志望する数学科学生も対象内でしょう
と言うか、代数専攻者にとっても学部卒就職組にとって中途半端な内容だよね加群の理論なんか
0778１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 16:04:29何度でも書くが、
「中途半端がいやなら 自 分 で 調 べ ろ」
0779１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 16:13:23カリキュラムとしておかしいと言ってんの
加群の完全列の理論の有効性を調べるのに、それだけに専念して数年かかる分量を、自分で調べろなんて無茶だ
そんなことしてたら数学科はどんどん潰れる
0780１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 16:31:330781１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 16:32:18成人なら自分で見切りつけろよ。
0782１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 16:36:09大学の講義について誤解してるだろ。
大学の講義は単なる入り口でしかない。
物足りないなら自分で文献を当たれ、
手に余るなら自分でけじめをつけろ。
甘ったれるな、小学生かお前は。
0783１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 17:32:34伝統的なのは、ガロア理論・ガロアの定理（ないしはアーベルの定理・作図不可能性定理）
という美しい定理・定理群を頂点として、その準備をかねて、群環体を学習していく。
群論環論などの抽象性高い分野の重要性や美しさも、ガロア理論という頂点にまで達すれば学生に理解できる
そういった意味ですぐれた構成になっている
しかし、現代数学での道具てしての重要性と予備知識の必要性の低さから、
加群の理論を挿入している。当然当面の最終地点ガロア理論には必要ないし、
それ自身美しくもおもしろくもない
最低でも綺麗な応用例で証明のそう長くないものを提示してほしい。
加群の重要性を知りたかったら代数の博士をめざせとは無責任。
もし代数を専攻してつまらなかったらどう責任をとってくれるんだ
おれの定理は正しい、疑うなら使うな、もしくは証明を修正するなり自力で作れ、
というのでは民主社会は通らない。
教師と学生は対等の立場にあるのだから、教師や著者は正しさや美しさを伝える努力が必要、
論理を丹念に追う努力をしている学生を裏切ってはならない
0784１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 17:33:53黙れ、死ね
0785１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 17:36:13ガロアが頂点というのは間違っている。
単にインパクトのある結果を持ってくれば
授業が終わったという気にできる
それに丁度いい題材がガロアというだけ。
んで、表現論ってのはまさに加群の理論。
0786１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 17:37:47> 加群の重要性を知りたかったら代数の博士をめざせとは無責任。
微分幾何や確率論の研究室に配属になったって、
B4レベルで加群の重要性はわかる。
寝ぼけるのも大概にしろ。
0787１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 17:40:52お前がその講義にでなければいい話。
お前如きが教師と対等なわけないだろ、
ろくに文献を漁りもせずにピーチクパーチク
喚いてるお前が裏切り者だ。
0788１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 17:45:56歴史的に言っても群論はガロアからはじまったのだから、ガロアを頂点とするのは理にかなう。
ちゃんとストーリーがある
>>756確率論で加群の完全列なんて使うのはどの定理？どの本？たとえば。
0789１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 17:49:290790１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 17:50:24ということがよくわかった。
こんなの相手にしても仕方が無い。
0791１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 17:56:13お前らどこの頂点だよ
0792１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 18:00:05やれねーじゃん？
0793１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 18:01:24二本の柱だろ、体上の加群の理論は。
0794１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 18:02:19「数のカリキュラム」ってのが何を言いたいのか知らんが、
別にガロア理論は頂点でもなければ
代数学の教科書の目的地点でも無い。
実際そうじゃない教科書は幾らでもあって
最後の方は表現論を扱ってる、みたいな本も多い。
確かM. Artinの入門書はそういう感じ。
堀田良之の本は最後は代数解析のサワリみたいな内容を載せてる。
松村英之の本は最後の章は代数幾何学。
いずれにせよ加群をかなり本質的に使う。
本の最後のガロア理論の章で加群を使わないから要らないとか
バカいうのも休み休み言え。
微積の本で、実数論、微分、積分、級数という風に章が並んでることは良くあるけど
級数論に必要だから積分を勉強してるわけじゃないだろ？
（というか微積の教科書レベルでは級数の議論にはあまり使わない）
0795１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 18:08:11線形代数が広い分野で有効というのは当然認める
実数体ないし複素数体上の線形代数の学部の内容を、
一般の環に拡張しておさらいし直した程度のモノを加群の理論と呼ぶなら当然広い応用を持つ。
それを超えた内容、完全列、射影・入射加群の話の有効性や動機づけを問題にしている
0796１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 18:08:22専攻を選んだのは自分であり、また自分で金を払って行っているのだから。
何でその責任を教師が追わないといけないんだ。
民主社会がどうのとかアホを抜かすな。
或る事を美しいと思う価値観とそう思わない価値観の双方を尊重するのが
現代的な民主主義社会だろ。
印度哲学科とか露西亜文学科に進んだ文学科の学生が、
面白くねえじゃねえか、どう落とし前を付けるんだとか
教官に食って掛かってたらアホだなと思わないのか？
Fランク大学のアホなゆとり大学生だなーと思うのが普通なんだが。
ガロア理論を最終目標として進んでいくタイプの代数学の教科書で、
途中加群の章がちょこんとあって浮いているのは不適切、
というくらいの主張なら妥当だろう。それ以外は全部むちゃくちゃ。
0797１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 18:15:01せめて表現論の初歩の初歩くらい学んできてから吠えろ、カス
0798１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 18:22:22もちろんそのカリキュラムの描いているスケールによってはガロアは中継となって目標はそれを超える。
だから最終目標の前に、当面の、という語を挿入した。
ガロアまでいかずに群論環論で代数の入門書がおわっていたら、ストーリーとしておかしく、どれほど群論環論が無味乾燥なものと感じてしまうか。
0799１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 18:31:130800１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 18:31:32あまりに狭量、なんと矮小な精神の持ち主か。
0801１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 18:32:28黙れ、死ね。
0802１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 18:36:21何もストーリーとしておかしく無いけど。
その後にたとえば結晶群の話とか変換群の話とかが付いてる必要は無い。
だいたい代数にあまり興味が無い人にとっては
方程式の解の公式があるか無いかが判って何が嬉しいんだという話なんだがね。
方程式というのは数学専攻以外の人にとってはあくまで道具でしかないわけで、
実際方程式は道具として生まれたわけだし、だからFibonacciは
帳簿の付け方とか商売上の計算術みたいな本が主著だし、九章算術もそう。
和算のうちの代数学方面も天文学への応用を期待するみたいな面が大きいはず。
どうせ解の公式が判っても結局は最後は数値計算なんだから
方程式論なんてNewtonと同時に趣味的な研究対象に成り下がっている。
方程式はそれ自身研究対象として意味があるけど群や環には無い、というのは
ただの798の偏見。数学的には有限群の方が方程式よりも基本的で意味がある対象だと思う。
>>800
＞>>798がガロアにしか何も感じない可哀相な人だということは判る。
そうなんだよね。代数学の本はガロア理論を目標にすべし、という何の根拠も無い考え方。
0803１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 18:42:25振り返ると、ガロアも群論だったんだね、ってだけ
というのが歴史的な事実。
そして、群の起源といえそうなものとしてはガロア以外にも
各種空間の運動が作る群というものも古来ちょこちょこと
研究されてきてて、それはガロアよりも古いよね、
というような話も文献を真面目にあさってれば
目の端っこくらいには留まるだろうと。
0804１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 18:44:56体上の代数群の体の乗法群を表現加群とする
表現論なんだが。
加群が必要ないなんて言ったら
ガロア理論もやれなくなるじゃないかｗ
0805１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 19:01:260806１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 19:16:00ガロアを中心とする伝統的なカリキュラム以外認めない、とは言っていないが、それに対抗する本質的に違うのは現状ではないと思っている。数学科として
数学者は一種の芸術家であり表現者だ。己の主張には責任があるわけで、何を言ってもいいわけじゃない
代数の初学者向けのカリキュラムや本を書くなら、自己の主張を訴えるべき。
完全列などのテクニカルタームの定義の羅列だけで終わるなんて中途半端なことをする意図を聞いているのだ
>>804 過去レス読んで、ここで言う加群理論の意味をさとってくれ。ガロアの定理に加群の完全列は必要ない。
ま加群の初等的な理論でさえ直接明示的には必要ないが、それはおいとく
0807１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 19:17:200808１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 19:18:42加群の理論に完全列しかないという
わけのわからん主張を無責任にするなよ
0809１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 19:19:56まるきりExtとかTorに関係あるのに。
0810１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 19:27:41>>803
＞各種空間の運動が作る群というものも古来ちょこちょこと
＞研究されてきてて、それはガロアよりも古いよね
良く知らんけどどういう話？
0811１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 19:36:09意味が分からん。日本語でお願いします。
たとえば東大数学科ではGalois理論は選択科目で、必修じゃないんだが。
特に代数をやりたいわけじゃない人は他の科目を取るわけだ。
例えば幾何をやりたい人は、環と加群の理論を取るほうが自然だろう。
＞数学者は一種の芸術家であり表現者だ。己の主張には責任があるわけで、何を言ってもいいわけじゃない
何々は美しくない、と言って積極的に攻撃するのは止めて欲しいもんだがなあ。
数学の本質はその自由性にある。
>>796でも言ってるけど、「現代」数学の本は動機付けが不明なのが良くない、
とかそういうのは頷ける点もあるんだよ。ただ一の正当な主張をするために
十の妄言までしてしまってるからトンデモになってるだけで。
0812１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 19:37:47というような感じで講義されてるよ。
0813１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 21:36:060814１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 21:37:120815１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 21:50:38加群の完全列の理論をいれている意味を誰も答えられないのか
代数幾何学序論とか言う本に載っているのならわかるが
0816１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 21:59:220817１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 22:00:06まるで学部生は代数幾何を殺らない
とでも言いたげだな。
0818１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 22:01:33スペクトルの理論がそんなに気に入らないのか？
0819１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 22:02:31ということはまあ理解した。
0820１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 22:10:28Atiyah & Macdonald（和訳あり）
0821１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 22:11:02今の学部にそんな単位あるかいな
やるにしてもセミナー系の単位だろ
0822１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 22:20:18では日本全国全ての大学のカリキュラムの中に
代数幾何の単位が存在しないことを証明してください。
0823１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 22:24:06㌧
早速買って読んでみる
0824１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 22:48:300825１３２人目の素数さん
2008/11/18(火) 23:05:26ちなみにどこ？
Webで公開されてるならシラバス見てみたい
0826１３２人目の素数さん
2008/11/19(水) 03:59:01個人的に初めて有効だと感じたのは、
どの本・論文のどのあたりを読んでいたとき？
0827１３２人目の素数さん
2008/11/19(水) 04:44:54加群の有用性を幾何抜きで語ってみろということだろ
代数プロパーの視点からの有効性を語ってみろと
0828１３２人目の素数さん
2008/11/19(水) 05:14:04幾何でも解析でも応用系でも何でも良い
ただしフェルマー予想のワイルズの証明っていうのじゃなく、なるべく予備知識少なくてすみやつが好ましい
あるいは歴史的に見て初期の応用例って何？
0829132番目の素数さん
2008/11/19(水) 05:48:470830１３２人目の素数さん
2008/11/19(水) 17:09:08それはまあ個人的事情だよね。
ホモロジー代数は歴史的な初期の応用例
（というか生まれた起源)は代数位相幾何でしょ。
じゃあ代数学の教科書に書くなとか言い出すと、
分野横断的に応用される基礎理論は教科書に書けなくなってしまうよね。
0831１３２人目の素数さん
2008/11/19(水) 17:33:06いまは知らんが、昔は京大では森先生や宮岡先生が講義をされておったなあ。
0832１３２人目の素数さん
2008/11/21(金) 02:47:090833１３２人目の素数さん
2008/11/21(金) 03:17:350834１３２人目の素数さん
2008/11/22(土) 00:06:18どのように解けばいいか分かりません。
アプローチの仕方だけでもいいので教えてください。
0835１３２人目の素数さん
2008/11/22(土) 01:44:11Kingは？・・・・・・・・・・・・・
0836１３２人目の素数さん
2008/11/22(土) 02:11:020837１３２人目の素数さん
2008/11/22(土) 02:12:210838１３２人目の素数さん
2008/11/22(土) 04:15:38スレのPart1でもそんな話が出てたな
0839１３２人目の素数さん
2008/11/22(土) 05:02:34ありがとう。スレ落ちてしまったみたい
0840１３２人目の素数さん
2008/11/22(土) 07:38:25１がどこに写るか考えてみては？
0841１３２人目の素数さん
2008/11/26(水) 19:25:290842１３２人目の素数さん
2008/11/29(土) 11:00:07そして{v_1,v_2,…v_n}と{g_1,g_2,…,g_n}をそれぞれVとV*の基底とし,
f:V(+)V(×)V*→Fをf((v+v')(×)g)=g(v)+g(v')で定義する
((+)は直和,(×)はテンソル積)。
fが線形写像である事を示せ。
f(((v+v')(×)g)+((w+w')(×)g'))=f(((v+v')(×)g))+f(((w+w')(×)g'))
と
f(α((v+v')(×)g)))=αf(((v+v')(×)g)) (α∈F)
とはどうやって示せばいいのでしょうか?
取り合えず
v:=Σ[i=1..n]a_iv_i,v':=Σ[i=1..n]b_iv_i,
w:=Σ[i=1..n]c_iv_i,w':=Σ[i=1..n]d_iv_i,
g:=Σ[i=1..n]e_ig_i,g':=Σ[i=1..n]k_ig_i
と基底の一次結合で表す。
f((v+v')(×)g+(w+w')(×)g')から
f((v+v')(×)g)+f((w+w')(×)g')
に持っていけません。
また,
f(α((v+v')(×)g))から
αf((v+v')(×)g)
に持っていけません。どのように変形すればいいのでしょうか?
0843１３２人目の素数さん
2008/11/29(土) 16:07:59> f:V(+)V(×)V*→Fをf((v+v')(×)g)=g(v)+g(v')で定義する
の意味わかってるか?
なんでこれで定義できたことになってるか分かってるか?
0844１３２人目の素数さん
2008/11/30(日) 07:47:25Slyvester'sの定理
「Let V be a finite dimensional vecor space over R,with a scalar
product. There exists an interger r≧0 having the following property. If
{v_1,v_2,…,v_n} is an orthogonal basis of V, then there are precisely r
integers i such that <v_i,v_i>>0」
nullityの定義は
「Vを有限次元線形空間とし{v_1,v_2,…,v_n}をVの直交基底とする時,
V_0:={v∈{v_1,v_2,…,v_n};<v,v>=0}(但し,<,>はスカラー積)をVのnullityという」だと思います。
[Q] Let A be the real matrix
1,3,5
2,0,1
5,-3,-2
(1) Determine the bilinear form associated to A(as a polynomial).
(2) Find the basis of R^3 predicted by Sylvester's theorem.
(3) What is the nullity of this bilinear form on R^3?
0845１３２人目の素数さん
2008/11/30(日) 07:48:26(x_1,y_1,z_1)At^(x_2,y_2,z_2)=x_1x_2+2x_2y_1+5x_2z_1+3x_1y_2-3y_2z_1+5x_1z_2+y_1z_2-2z_1z_2
と展開すればいいだけと解釈したのですが、、、
そして
detA=-λ^3-λ^2+30λでdetA=0の解はλ=0,5,-6となります。
それで対角化変換行列Pは
1,-9,2
3,1,1
-2,12,1
となり
P^-1AP=
0,0,0
0,-6,0
0,0,5
となります。でこのPの列ベクトル
{(1,3,-2),(-9,1,12),(2,1,1)}をGram-Schmdit直交化して
{(1,3,-2),(-48/7,52/7,54/7),(1045/566,165/566,385/283)}が直交基底となります。
これが(2)の答えなのでしょうか?
どこら辺が"predicted by Sylvester's theorem"なのでしょうか?
あと,(3)はどのようにして求めればいいのでしょうか?
0846１３２人目の素数さん
2008/11/30(日) 07:59:09>> f:V(+)V(×)V*→Fをf((v+v')(×)g)=g(v)+g(v')で定義する
> の意味わかってるか?
一応意味は分かりますが、、
> なんでこれで定義できたことになってるか分かってるか?
わかりません。問題にそのように定義されてるからです。すいません。
ご教示お願い致します。m(_ _)m
0847１３２人目の素数さん
2008/11/30(日) 09:32:02下がわからないのに上が分かるわけないでしょ．
:V(+)V(×)V* の中に (v+v')(×)g の形で書けない元があるのは大丈夫？
その元に対して f がどう定義されるかは分かってる？
0848１３２人目の素数さん
2008/11/30(日) 09:56:58普通に考えると意味不明だな．
そのSylvesterの定理はscalar productに関する主張だし，
そのnullityもscalar productが入ってないと定義できないのに，
問題はbilinear formになっている．(2), (3) は答えられん．
0849１３２人目の素数さん
2008/12/01(月) 05:17:54> :V(+)V(×)V* の中に (v+v')(×)g の形で書けない元があるのは大丈夫？
えっ? なんですか?
> その元に対して f がどう定義されるかは分かってる？
すいません。ご教示ください。m(_ _)m
0850１３２人目の素数さん
2008/12/01(月) 05:49:50R^3の基底として色々なものが採れる(単に一次独立な基底や直交基底など)
それでR^3=V_0(+)V_p(+)V_nで
V_0:={v∈R^3;∀w∈R^3,<v,w>=0},V_pの元xはx≠0なら<x,x>>0を満たす,V_nの元はx≠0なら<x,x><0を満たす。
そのような線形部分空間V_0,V_p,V_nの基底を求めよ。
という意味ではないでしょうか?
具体的にどうすればいいのか分かりませんが…
0851１３２人目の素数さん
2008/12/01(月) 06:51:45V(+)V (×) V* の元は (v+v')(×)g の形の元の線型結合だから、
たとえば (v+v')(×)g + (u+u')(×)h なんてのも入ってるよね。
でも、この形の元には f は直接は定義されていない。どうする？
0852１３２人目の素数さん
2008/12/01(月) 07:08:18この問題において，そこでいう < > ってなんなの、って話だよ．
非対称行列から定まる双線型形式に対してはSylvesterの定理は成り立たないから
R^3=V_0(+)V_p(+)V_n という分解は成り立たない．
0853１３２人目の素数さん
2008/12/01(月) 09:37:39ちょっと変な問題だな。
そもそも、
「f:V(+)V(×)V*→Fをf((v+v')(×)g)=g(v)+g(v')で定義する」
っていうのは略式の慣用的な言い方で、本来は
f':(V(+)V)×V*→F（左側はテンソル積ではなく直積）
f'(v+v', g)=g(v)+g(v')
という双線型写像から定まる（テンソル積間の）線型写像をfとする。
っていう意味。f'が双線型写像ならテンソル積の定義（普遍性）
からfは自動的に線型写像になる。だから示さなきゃないのは、
f'が双線型写像ってことだけ。
こういう定義確認レベルの基礎的な問題で略式の言い方を使うってのは、
問題のほうが悪い。
0854１３２人目の素数さん
2008/12/01(月) 17:31:50トレースＴ(ｘ)を[L:K]_i*Σσ_ｊ(ｘ)
で定義する。
注意。[L:K]_i≠１の時Ｔ(ｘ)=０
とあるのですが、なぜでしょうか？
0855１３２人目の素数さん
2008/12/01(月) 17:38:290856１３２人目の素数さん
2008/12/01(月) 17:45:20早いレスありがとうございます
Ｔ(x)=p^e*(x1+～+xn)
という形に書けるからですね。理解できました
0857１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 03:51:25皆様、ご回答誠にありがとうございます。
> っていう意味。f'が双線型写像ならテンソル積の定義（普遍性）
> からfは自動的に線型写像になる。だから示さなきゃないのは、
> f'が双線型写像ってことだけ。
双線形ということは
f((v+v')(×)g+(w+w')(×)g)=f((v+v')(×)g)+f((w+w')(×)g).
f(c(v+v')(×)g)=cf((v+v')(×)g) (c∈F).
f((v+v')(×)g+(v+v')(×)h)=f((v+v')(×)g)+f((v+v')(×)h).
f((v+v')(×)cg)=cf((v+v')(×)g).
を示せばいいのでしょうか?
とりあえずやってました。
(i) f((v+v')(×)g+(w+w')(×)g)=f((v+v')(×)g)+f((w+w')(×)g)を示す。
T:=span{(x_1+x_2,y)-(x_1,y)-(x_2,y),(x,y_1+y_2)-(x,y_1)-(x,y_2),(rx,y)-r(x,y),(x,,ry)-r(x,y)}
(但しx_1,x_2,x∈V(+)V,y_1,y_2,y∈V*,r∈F)
f((v+v')(×)g+(w+w')(×)g)=f(((v+v'),g)modT+((w+w'),g)modT)
=f(((v+v')+(w+w')),g)modT)(∵命題「(x_1+x_2)(×)y=x_1(×)y+x_2(×)y」)
=f(((v+v')+(w+w'))(×)g)
=g(v+v')+g(w+w') (∵fの定義)
=g(v)+g(v')+g(w)+g(w')(∵gは線形写像)
= f((v+v')(×)g)+f((w+w')(×)g) (∵fの定義)
0858１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 03:52:25(ii) f(c(v+v')(×)g)=cf((v+v')(×)g) (c∈F)を示す。
f(c(v+v')(×)g)=f((v+v')(×)(cg)) (∵シンプルテンソルの性質)
=cg(v)+cg(v')=c(g(v)+g(v'))=cf((v+v')(×)g)
次に
(iii) f((v+v')(×)(g+g'))=f((v+v')(×)g)+f((v+v')(×)g')を示す。
f((v+v')(×)(g+g'))=(g+g')(v)+(g+g')(v')=g(v)+g'(v)+g(v')+g'(v')
=g(v)+g(v')+g'(v)+g'(v')=f((v+v')(×)g)+f((v+v')(×)g')
次に
(iv) f((v+v')(×)cg)=cf((v+v')(×)g) を示す。
f((v+v')(×)cg)=cg(v)+cg(v')=c(g(v)+g(v'))
=cf((v+v')(×)g)
これで双線形を示せたと思いますがこれで大丈夫でしょうか?
「f'が双線型写像ならテンソル積の定義（普遍性）
からfは自動的に線型写像になる」
この意味が良く分かりません。どうして双線形性が線形性を示した事になるのでしょうか?
0859１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 04:02:290860１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 04:42:31いいえ
0861１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 04:43:15全然ダメ
0862１３２人目の素数さん
2008/12/03(水) 21:13:57500円で買うｗｗｗｗｗｗｗｗ
0863１３２人目の素数さん
2008/12/04(木) 01:59:37一番簡単な問題集か参考書教えてください。
というより皆はどうやって代数理解したのですか？
0864１３２人目の素数さん
2008/12/04(木) 02:38:06p-adicな局所体上の線型代数群の超尖点表現ですら
さっぱりわからないのに……
0865１３２人目の素数さん
2008/12/04(木) 04:46:30習うより慣れよ、易しい問題集で良いからひたすら問題演習。
それでも解けないのなら問題集を解かなくて良いから
問題と解き方を丸ごと覚えりゃどうにかなる。
まあ自分で解いて進んでいったほうが普通は楽ですけどね。
>>863
「説明が丁寧で、自分で考えながらじっくり読めば
きちんと理解できるように書かれている本」と、
簡単な本というのは結構違うけど、
簡単な本なら「親切な代数学演習」とかは？
あと松坂和夫「代数系入門」とか「代数入門」上野健爾とか。
群論だけなら「群論への30講」とかも。
あと初等的整数論の知識があるとかなり理解の助けになる。
0867１３２人目の素数さん
2008/12/04(木) 05:00:43■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています