代数学総合スレッド Part4
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0001１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 09:00:00代数学総合スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/
代数学総合スレッド Part2
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代数学総合スレッド part3
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0691１３２人目の素数さん
2008/10/29(水) 02:24:22という等式の証明についての質問です。
Rを可換環としV,Wを自由左R加群とし,M:=span(V×W)とする。
左R加群とは線形空間のスカラーが体の元から可換環の元に変わっただけだと思います。
自由とは基底を持つという意味です。
T:=span{(x_1+x_2,y)-(x_1,y)-(x_2,y),(x,y_1+y_2)-(x,y_1)-(x,y_2),(rx,y)-r(x,y),(x,ry)-r(x,y)}
(但し,x_1,x_2,x∈V, y_1,y_2,y∈W, r∈R,つまりTの生成元はMの元)
と定義し,
V(×_R)W:={{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v,w) (mod T)};(v,w)∈V×W}をR上のテンソル積という。
V(×_R)Wは単にV(×)Wと書いたりもする。
{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v,w) (mod T)}をv(×_R)wまたは単にv(×)wと書き,(v,w)のテンソルという。
つまりテンソルは類の事だと思います。
定義から
(v_1+v_2)(×)w=v_1(×)w + v_2(×)w
v(×)(w_1+w_2)=v(×)w_1 + v(×)w_2
(αv)(×)w=v(×)(αw) =α(v(×)w)
が成り立つとあったのですが
とりあえず
(v_1+v_2)(×)w=v_1(×)w + v_2(×)wを示してみようと思いまして
0692１３２人目の素数さん
2008/10/29(水) 02:25:26v_1(×)w+v_2(×)w={(α,β)∈span(V×W);(α,β)≡(v_1,w)(mod T)}+{(α,β)∈span(V×W);(α,β)≡(v_2,w)(mod T)}だから
(α,β)=(α_1,β_1)+(α_2,β_2) …①
但し
(α_1,β_1)≡(v_1,w) (mod T)
(α_2,β_2)≡(v_2,w) (mod T)
という関係になっている。両辺を足して
(α_1,β_1)+(α_2,β_2)≡(v_1,w)+(v_2,w) (mod T) …②
そして
(v_1+v_2,w)-(v_1,w)-(v_2,w)≡0 (mod T) (∵Tの定義)より
(v_1+v_2,w)≡(v_1,w)+(v_2,w) (mod T) …③
②と③から
(α_1,β_1)+(α_2,β_2)≡(v_1+v_2,w) (mod T)
よって①から
(α,β)≡(v_1+v_2,w) (mod T).
∴(α,β)∈(v_1+v_2)(×)w
0693１３２人目の素数さん
2008/10/29(水) 02:25:57∀(α,β)∈(v_1+v_2)(×)wを採ると
(v_1+v_2)(×)w={(α,β)∈span(V×W);(α,β)≡(v_1+v_2,w)(mod T)}だから
(α,β)≡(v_1+v_2,w) (mod T)…④
そして
(v_1+v_2,w)-(v_1,w)-(v_2,w)≡0 (mod T) (∵Tの定義)より
(v_1+v_2,w)≡(v_1,w)+(v_2,w) (mod T) …⑤.
④と⑤より
(α,β)≡(v_1,w)+(v_2,w) (mod T).
これからこの(α,β)が
(α,β)=(α_1,β_1)+(α_2,β_2)且つ
(α_1,β_1)≡(v_1,w) (mod T)
(α_2,β_2)≡(v_2,w) (mod T)
という(α_1,β_1)と(α_2,β_2)の存在を示さないとと
(α,β)∈v_1(×)w+v_2(×)wとは言えませんよね。
どうすれば(α_1,β_1)と(α_2,β_2)の存在が示せますでしょうか?
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