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代数学総合スレッド Part4

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0001１３２人目の素数さん2007/08/25(土) 09:00:00
代数に関する話題全般のスレッドです。

代数学総合スレッド
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0661１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 17:26:52
>>627
大学二年でスリッパ教授にHodge作用素とか出されてぴよってたｵﾚはどうなるんだ！！！
0662１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 18:49:21
体は零元と異なる単位元の存在を要求する。だから零環はあっても零体はない。
0663１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 19:17:11
昔（1950年代頃まで）は環に単位元の存在を仮定しなかった。
これだと理論が煩雑になり、しかもメリットはほとんどない。
つまり単位元のない環は自然ではないんだな。
リー環のように結合律を満たさないものは別だが。
Bourbakiは早くからこのことに気づいていて環といえば単位元をもつものと
定義していた。
0664１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 22:21:12
そりゃ単に可換環論を詳しくあつかっただけだろう。

>>657
次元は-∞
0665１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 22:37:38
>>664
>そりゃ単に可換環論を詳しくあつかっただけだろう。

意味不明。
非可換環でも単位元を仮定するのが自然。
0666１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 23:19:30
ヘッケ環も単位元が普通？
0667１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 23:22:06
非可換環は便宜上単位元を仮定してる場合が多いが
別になくてもいい。

>>664 なんで-∞？
0668１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 23:30:12
>>667
>非可換環は便宜上単位元を仮定してる場合が多いが
>別になくてもいい。

それを言ったら可換環だってなくてもいいんだよ。
ただし、単位元がないといい結果が出てこない。
0669１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 23:34:28
Langで代数独学した人いない？
0670１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 23:37:20
>>667
食う酒烏合で生成されるから

>>668
ヘッケ環もいい結果が無いの？
0671１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 23:39:34
空集合で生成って次元0じゃなかったっけ？
-∞で定義すると直和の時限とかの公式成り立たなくて不便なだけでは？
0672１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 00:02:49
>>670
ヘッケ環は単位元があるだろ。
0673１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 00:43:51
>>672
んじゃp-進数体上のGLのHecke algebraの単位元を教えてくれ。
0674１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 02:28:41
>>663
RNGに同形なRINGは自然に定義できるんじゃなかった？
06756742008/10/26(日) 02:34:11
ぼけてた。
RNGに同形なsub ringを含むRINGが定義できるだったorz
0676１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 03:19:42
>>673
GL(Z_p)の特性関数
0677１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 09:17:20
>>662
流儀による
0678１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 09:24:32
（可換）C*環なんかでは単位元の有無に関しての結果も豊富だよね．

例えば局所コンパクトな X 上の ∞で消える関数環 C_0(X) が
単位元を持つことと X がコンパクトであることは同値だとか，
単位元を持たないC*環は単位元を持つC*環にイデアルとして
埋め込めるけど，これはコンパクト化に相当するとか．
0679１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 09:45:46
>>677
そんな流儀はない。
１個の元からなる体はない。
0680１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 11:52:33
「ない」ことを断言できるのはすごいな。
ひとつでもそう書いてある文献があれば反証されるのに。
0681１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 11:56:34
>>680
>ひとつでもそう書いてある文献があれば反証されるのに。

なこたあない。
どこにもアホはいる。
0682１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 11:59:57
あのなあ、ここでは常識的な話をしてる。
屁理屈をこねるなよ。
0683１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 13:12:46
F_1 を特別視するのは何かと面倒な場面も多いんだけどな
0684１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 14:25:22
>>683
例えば？
0685１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 17:06:53
確かにLangのAlgebraは大学院初年級向けの
一般的な代数学のテキストとしてはかなり詳しい。
ただ何でもかんでも書いてあるかというとそうではなくて、
例えば群の表現とか可換環論とかホモロジー代数とか
そういう個別のトピックに関する情報が欲しければ
個別の分野の本の方が当然詳しい。

あと記述が丁寧というわけでは無いから、
この本一冊だけってのは結構苦しいんじゃなかろうか。
まあ図書館とかを利用すれば良いんだけどね。

>>680
じゃあ立証責任はそう書いてある文献があることを
示す側にあるんじゃないの
0686１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 17:21:32
将来解析専門にしたいけど
Langレベルの代数まで学ぶ必要はあるかな
Artinの代数は独学で一応やったんだけど。
06876742008/10/26(日) 20:31:42
>>686
C＊とかだとK-Theoryも分かんないと駄目なのでは？
0688１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 21:08:04
>>686
不要とは言わんけど他に優先するものもあると思う
0689１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 21:21:38
証明される結果は解析学の方が美しいけど
証明のプロセスは代数学の方が美しい。
0690１３２人目の素数さん2008/10/27(月) 02:26:15
LangのAlgebra買うことにしよう。
Artinを読み返しながら
残りの学部二年半で読破を目指す。
0691１３２人目の素数さん2008/10/29(水) 02:24:22
(v_1+v_2)(×)w=v_1(×)w + v_2(×)w
という等式の証明についての質問です。


Rを可換環としV,Wを自由左R加群とし,M:=span(V×W)とする。
左R加群とは線形空間のスカラーが体の元から可換環の元に変わっただけだと思います。

自由とは基底を持つという意味です。

T:=span{(x_1+x_2,y)-(x_1,y)-(x_2,y),(x,y_1+y_2)-(x,y_1)-(x,y_2),(rx,y)-r(x,y),(x,ry)-r(x,y)}
(但し,x_1,x_2,x∈V, y_1,y_2,y∈W, r∈R,つまりTの生成元はMの元)
と定義し,

V(×_R)W:={{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v,w) (mod T)};(v,w)∈V×W}をR上のテンソル積という。
V(×_R)Wは単にV(×)Wと書いたりもする。

{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v,w) (mod T)}をv(×_R)wまたは単にv(×)wと書き,(v,w)のテンソルという。
つまりテンソルは類の事だと思います。

定義から
(v_1+v_2)(×)w=v_1(×)w + v_2(×)w
v(×)(w_1+w_2)=v(×)w_1 + v(×)w_2
(αv)(×)w=v(×)(αw) =α(v(×)w)

が成り立つとあったのですが
とりあえず
(v_1+v_2)(×)w=v_1(×)w + v_2(×)wを示してみようと思いまして
0692１３２人目の素数さん2008/10/29(水) 02:25:26
∀(α,β)∈v_1(×)w+v_2(×)wを採ると
v_1(×)w+v_2(×)w={(α,β)∈span(V×W);(α,β)≡(v_1,w)(mod T)}+{(α,β)∈span(V×W);(α,β)≡(v_2,w)(mod T)}だから
(α,β)=(α_1,β_1)+(α_2,β_2) …①
但し
(α_1,β_1)≡(v_1,w) (mod T)
(α_2,β_2)≡(v_2,w) (mod T)
という関係になっている。両辺を足して
(α_1,β_1)+(α_2,β_2)≡(v_1,w)+(v_2,w) (mod T) …②
そして
(v_1+v_2,w)-(v_1,w)-(v_2,w)≡0 (mod T) (∵Tの定義)より
(v_1+v_2,w)≡(v_1,w)+(v_2,w) (mod T) …③
②と③から
(α_1,β_1)+(α_2,β_2)≡(v_1+v_2,w) (mod T)
よって①から
(α,β)≡(v_1+v_2,w) (mod T).
∴(α,β)∈(v_1+v_2)(×)w
0693１３２人目の素数さん2008/10/29(水) 02:25:57
逆に
∀(α,β)∈(v_1+v_2)(×)wを採ると
(v_1+v_2)(×)w={(α,β)∈span(V×W);(α,β)≡(v_1+v_2,w)(mod T)}だから
(α,β)≡(v_1+v_2,w) (mod T)…④
そして
(v_1+v_2,w)-(v_1,w)-(v_2,w)≡0 (mod T) (∵Tの定義)より
(v_1+v_2,w)≡(v_1,w)+(v_2,w) (mod T) …⑤.
④と⑤より
(α,β)≡(v_1,w)+(v_2,w) (mod T).
これからこの(α,β)が
(α,β)=(α_1,β_1)+(α_2,β_2)且つ
(α_1,β_1)≡(v_1,w) (mod T)
(α_2,β_2)≡(v_2,w) (mod T)
という(α_1,β_1)と(α_2,β_2)の存在を示さないとと
(α,β)∈v_1(×)w+v_2(×)wとは言えませんよね。

どうすれば(α_1,β_1)と(α_2,β_2)の存在が示せますでしょうか?
0694１３２人目の素数さん2008/10/29(水) 02:35:21
>>689

両方やれって事かよ
0695１３２人目の素数さん2008/10/29(水) 06:51:07
体K上の２変数多項式環K[X,Y]のX^2-Y^3によって生成されるイデアル(X^2-Y^3)による
剰余環をRとするとき, R は整域であることを示したいんですがうまくできません

(X^2-Y^3)が素イデアルであることをしめせばいいのはわかるんですが
X^2-Y^3が因数分解できないから素イデアルであるとかではだめなんですよね
きちんとした証明がしりたいので教えてください
0696１３２人目の素数さん2008/10/29(水) 20:34:08
>>695
素イデアルの定義を考えればおｋ
0697１３２人目の素数さん2008/10/29(水) 22:30:36
自明
0698１３２人目の素数さん2008/10/30(木) 11:58:25
K:={a+b√5;a,b∈Q},P_n:={Σ[i=0..n]a_ix^i;a_i∈K}とする。

K上のテンソル積P_2(×)RとP'_2:={a_0+a_1x+a_2x^2;a_i∈R}とは同型である事を示せと言う問題です。

P_2(×)RからP'_2への全単射な同型写像fとしてどのようなものが取れますでしょうか?

P_2(×)R∋∀p(×)r→f(p(×)r):=????
0699１３２人目の素数さん2008/10/30(木) 14:43:32
>>695 K[X, Y] →　K[t] を　X, Yをそれぞれt^3, t^2に運ぶ
環準同型を定義して、その像が１次元であることは自明。
ゆえに核は高さ１の素イであるであり、UFDであることから
一つの元で生成される。また核にはX^2-Y^3が入っていることから
ちょっと考えると生成元がこれになることが分かる。
0700１３２人目の素数さん2008/10/30(木) 17:28:13
おい、礼ぐらいしろよ
0701１３２人目の素数さん2008/10/30(木) 17:33:59
>>700
ありがとうございました
　, - ,----､
（Ｕ（　　　　）　
｜　|∨Ｔ∨
（＿_）＿）


　, - ,----､
（Ｕ（　　　　）　
｜　|∨Ｔ∨　ﾁｭﾊﾟﾁｭﾊﾟ
（＿_）＿）
0702１３２人目の素数さん2008/10/30(木) 22:42:42
連続体濃度より濃い濃度を持つ体って厚生できまつか？
0703１３２人目の素数さん2008/10/30(木) 22:47:48
>>691-693
やってることが全てナンセンス。
0704１３２人目の素数さん2008/11/03(月) 09:11:31
>>702
Kを任意の体として、Λを好きな濃度の集合とする。
この時、形式多項式体　K[[x_λ| λ∈Λ]]　を考えればＯＫ
0705１３２人目の素数さん2008/11/03(月) 10:17:42
>>704
形式多項式体って何？
0706１３２人目の素数さん2008/11/03(月) 10:24:55
ローラン級数体K((x_λ))とでも言いたかったのでは
0707１３２人目の素数さん2008/11/03(月) 10:34:44
それでもいいが有理関数体 K(x_λ) つまり多項式環 K[x_λ] の商体のほうが
例として分かりやすい。
0708１３２人目の素数さん2008/11/04(火) 08:45:22
実数体Λから｛０，１｝への写像全体
のほうが簡単では？
0709１３２人目の素数さん2008/11/04(火) 08:48:14
ごめん体である必要があったんですね。代数スレというのを忘れてました
0710１３２人目の素数さん2008/11/04(火) 08:52:23
>>708
体じゃないだろ。
0711１３２人目の素数さん2008/11/05(水) 00:33:34
体じゃなかったら何でもありだろｗ
0712１３２人目の素数さん2008/11/05(水) 00:40:10
からだじゃなかったら何がねらいなんだ、金か？
0713１３２人目の素数さん2008/11/05(水) 00:42:32
>>704は記号だけ見ると形式冪級数環
といいたかったのかな。
間抜けにも体じゃないけど。

「形式多項式体」には腹いたいぐらい
ツボに填まって小一時間うけてしまったｗ
0714１３２人目の素数さん2008/11/05(水) 02:43:25
形式多項式体？？？？？？？？？　何それ？
0715１３２人目の素数さん2008/11/05(水) 03:05:48
>>714
>>704の虎の子だろう、きっと。
0716１３２人目の素数さん2008/11/05(水) 17:22:07
>>704叩かれ過ぎﾜﾛﾀ
0717１３２人目の素数さん2008/11/05(水) 19:31:08
整域の非可換版ってあるんですか？
0718１３２人目の素数さん2008/11/05(水) 19:37:47
>>717
あるよ。可換の話をしてるか非可換の話をしてるかは
文脈で分かるので、特に区別せず整域と呼ばれる。
0719１３２人目の素数さん2008/11/05(水) 20:40:17
整域の非可換版は聖域
0720１３２人目の素数さん2008/11/05(水) 21:24:43
非可換整域ってどんな本に載ってますか？私の持ってる代数入門書はどれも可換なのですが
0721１３２人目の素数さん2008/11/05(水) 21:25:49
そら、非可換環の本だろう。
つか、入門書とか釣りか。
0722１３２人目の素数さん2008/11/06(木) 00:47:44
おいらの持っている本(Lam)には
commutative domain = integral domain
と書いてあるが・・・
0723１３２人目の素数さん2008/11/06(木) 00:56:04
>>443
整域が可換なのは当然だろ
どこの定義でも整域は可換環になってる
今言ってるのは717の言葉を借りれば「整域の非可換版」
恐らく零因子を持たない非可換環のことかと
0724１３２人目の素数さん2008/11/06(木) 00:56:37
↑アンカーはミスなので無視してくれ
0725１３２人目の素数さん2008/11/06(木) 01:17:05
じゃあ非可換域と言えばいいんじゃないの？
0726１３２人目の素数さん2008/11/06(木) 02:28:40
だから聖域に触れてはならぬと
0727１３２人目の素数さん2008/11/06(木) 09:54:55
Domain
ttp://en.wikipedia.org/wiki/Domain_(ring_theory)
0728１３２人目の素数さん2008/11/06(木) 11:48:45
日本語の代数入門書では非可換整域はほとんど無視されている感じ
英語圏では非可換整域を基本的な用語と取り扱っている感じ
代数全体から見たときどっちが正当な扱い・重要度なのでしょうか
0729１３２人目の素数さん2008/11/06(木) 13:44:17
そんなの文脈で判断しろ。
0730１３２人目の素数さん2008/11/06(木) 16:39:15
最初に準同型定理を発見・証明したのは誰？
0731１３２人目の素数さん2008/11/06(木) 21:14:39
>>730
何に対する準同型定理？
0732１３２人目の素数さん2008/11/06(木) 21:16:18
>>731
一番古いもので
何に対するものが一番古いかは知らない
0733１３２人目の素数さん2008/11/06(木) 21:19:44
準同型という概念自体をきちんと定式化したのは
ドイツ抽象代数学の誰か、準同型定理自体の大雑把な認識なら
Galoisが既にしていた、とかそういう線じゃないかと思う。

数学史に詳しくないから知らんけど。
0734１３２人目の素数さん2008/11/06(木) 21:25:07
特殊ケースではオイラー以前に知られている。
もはや人名すら文献に残っていないだろうな。
0735１３２人目の素数さん2008/11/06(木) 21:27:28
>>733-734
ありがとう
不明だから人名が付いてないのか
人名の付いてない主要な定理って誰が発見したのか気になるんだよね
0736１３２人目の素数さん2008/11/06(木) 21:32:08
特殊ケースってどんなケースですか？
0737１３２人目の素数さん2008/11/06(木) 21:55:59
> 人名の付いてない主要な定理って誰が発見したのか気になるんだよね
数学には向かない性格ですね、可哀相に…
0738１３２人目の素数さん2008/11/06(木) 22:15:07
>>735
「誰が発見したか明確でないが、その分野にいる人にとっては常識である」
というのは昔も今も非常にたくさんある。準同型定理はこういうものの一つ。

名前の付いていない主要な定理にはこういうのがとても多い。
0739１３２人目の素数さん2008/11/06(木) 23:18:52
もっと先に行くと、名前が付いてないどころか
どの本にも書いてないけど分野の専攻者は当然知っていることになっている、
なんていう定理が結構あって、こういうのはfolkloreと言ったりする。
0740１３２人目の素数さん2008/11/06(木) 23:20:00
どの本にもどの論文にもってことね、一応補足。
0741１３２人目の素数さん2008/11/06(木) 23:32:44
最近読んだ論文に Proposition 1. みたいな感じで
Folklore 1. ～ Folklore 3. と並んでるのがあって、ちょっと面白かった。
こういう風にでも明文化してくれんと引用に困るんだよね。
0742１３２人目の素数さん2008/11/07(金) 00:08:41
それはきっと森の妖精さんに化かされたんだよ…
0743１３２人目の素数さん2008/11/07(金) 07:09:49
明文化したらfolkloreじゃないじゃんっていう
0744１３２人目の素数さん2008/11/07(金) 07:14:24
folkloreの明文化は数学屋の仕事じゃあない。
民俗学者か童話作家あたりのする仕事さ。
0745１３２人目の素数さん2008/11/09(日) 17:36:23
情報系の大学3年で、代数についても勉強してみたいと思ってるんですが、
松坂さんの代数入門は重すぎるでしょうか？
0746１３２人目の素数さん2008/11/09(日) 17:43:49
全然
0747１３２人目の素数さん2008/11/12(水) 10:32:00
ホモロジー代数の入門を勉強しはじめたのですが、
何のためにこの理論があるのか、疑問がもたげてきて
意欲がうすれてきました
論理自体は追えるのですが
なんの役にたつのですか？
0748１３２人目の素数さん2008/11/12(水) 10:53:37
>>747
難しい定理の証明がそれを使って簡単に出来てしまう。
応用される分野は可換代数とか代数幾何が多い。
道具だからそれ自体は面白くない。
本当に必要になってから勉強するのが良い。
0749１３２人目の素数さん2008/11/12(水) 13:12:40
代数の入門書でも、加群とかでてきますが、なんで重要なのかわかりません。とくに加群と準同型写像からなる完全列。
かなりテクニカルに見える命題で、何かの補題としてしか意味なさそうなのを、定理と称していたり。
群や環や体などはガロア理論で本質的なので、重要性はわかります
0750１３２人目の素数さん2008/11/12(水) 13:21:15
二番煎じはつまらないな
0751１３２人目の素数さん2008/11/12(水) 19:41:34
ホモロジー代数を本当に理解しようとしたら代数的位相幾何学を
勉強しなければならない。
位相と代数の不思議な関係が背後にある。
0752１３２人目の素数さん2008/11/12(水) 22:01:06
>>747
Fulton先生の本でも読めばいいじゃない
0753１３２人目の素数さん2008/11/12(水) 22:06:42
群 F, G, H について F ⊂ G ⊂ H かつ F ～ H なら F ～ G と言えますか？
（ ⊂ は部分群、～ は同型の意味です ）
0754１３２人目の素数さん2008/11/12(水) 22:16:58
幽玄ならいえる
0755１３２人目の素数さん2008/11/12(水) 22:17:44
部分群で同型？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？？
properではないという意味での部分群？？？？？？？？？？？？？？？
0756１３２人目の素数さん2008/11/12(水) 22:32:55
>>755
無限巡回群で偶数番号だけを抽出した部分群とか
0757１３２人目の素数さん2008/11/12(水) 22:39:57
>>755
ふざけすぎ。
0758１３２人目の素数さん2008/11/13(木) 10:10:16
>>753
F, H 階数2の自由群
G　　階数3の自由群
0759１３２人目の素数さん2008/11/13(木) 12:15:31
>>758
ありがとうございます、納得しました。
F = <a,b>, G = <a^2, ab, b^2>, H = <a^2, b^2> ですね。
0760１３２人目の素数さん2008/11/16(日) 00:32:47
>>752
http://www.amazon.co.jp/gp/product/4431708790/ref=sib_rdr_dp
http://www.amazon.com/Algebraic-Topology-William-Fulton/dp/0387943277/ref=sr_1_8?ie=UTF8&s=books&qid=1226762945&sr=1-8
フルトン　代数的位相幾何学入門
ですね。これって良いんですか？書評には、１ｓｔコースとしては
難しいという意見もありますが。
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