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代数学総合スレッド Part4

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0001１３２人目の素数さん2007/08/25(土) 09:00:00
代数に関する話題全般のスレッドです。

代数学総合スレッド
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代数学総合スレッド Part2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/
代数学総合スレッド part3
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0600１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 02:55:40
ありがとうございます。古いけど心配いりませんかね
0601１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 02:59:45
古い定理は時間とともに勝手に偽になるとでもいうのだろうか
0602１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 03:17:39
無意味につっかかるなぁ
ノーテーションとか定義などの流儀とかは時代によるでしょ
ピタゴラスの定理をまなぶためにユークリッドの原論よまんでしょ
0603１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 03:25:52
>>598-601
この流れはガチで釣りだｗ
0604１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 03:41:47
永尾汎や東郷重明の本はだめですか？
0605１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 03:42:55
「19世紀後半には整備されてたような数学」をやるのに
20世紀の定番が古いとか言い始める感覚はちょっとな。
0606１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 03:43:30
服部昭でいいんじゃねーの
0607１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 05:46:35
数学だと教科書が古いとか新しいとかはあまり関係ない。
古い教科書で正しいことは新しい教科書でも正しい。
物理も大概そう。

ちょっと導入の仕方が違ったりするだけ。
0608１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 06:40:01
とは言っても、ホモロジー代数は代数学に非常に大きな影響を与えた
わけだがらこれのさわり、または準備は教科書に入れておいたほうが
いいだろう。
例えばHomの左完全性とかテンソル積の右完全性とかな。
総じて加群の一般理論が重要になる。
これ等は古い教科書にはあまり載ってない。
06096082008/10/22(水) 06:41:25
平坦加群の理論も重要だしな。
06106082008/10/22(水) 06:47:33
平坦加群や射影加群や単射加群などは非常に基本的な加群にも
かかわらず、これ等が導入されたのは１９５０年代と比較的新しい。
非常に基本的なものというのは灯台もと暗しで気付きにくい。
だから、まだ発見されてない概念で非常に重要かつ基本的なものが
あるかもしれない。
0611１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 11:35:17

|　釣れますか？　　　　　　 　　　　　　　　 ,
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0612１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 12:17:47
ホモロジー代数は別に一冊買って勉強すれば良いと思うけどな。

群論なんかは別に一冊買って有限群とか表現論とかに
滅茶苦茶詳しくなる必要は無いかもしれないけど
ホモロジー代数を代数学の一般的教科書で
30ページくらい勉強しても仕方が無いんじゃ。
06136082008/10/22(水) 12:59:04
ホモロジー代数は必要になってからでいい。
しかし、現代的な加群の一般論は早期に導入したほうがいい。
0614１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 14:55:32


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0615１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 16:12:27
じゃあ堀田良之の教科書くらいの内容で充分だろう。
0616１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 17:17:40
代数学の本で何もかも学習するよりは、入門的なことを学んだあとに
ちゃんとガロア理論なりホモロジー代数なり表現論の本を読んだ方がいい訳で
0617１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 18:23:52
1冊に色々と詰め込むと，逆に不足分が気になってくるんだよね．
「代数学の本」は定義+α程度で満足しておいたほうが幸せになれる気がする．
0618１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 21:57:22
どなたかおねがいします・・
位数ｎの有限群Ｇはｎ次対称群Ｓｎのある部分群と同型であることを示せ
とっかかりが全然わかりません。
0619１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 22:23:40
2茶んの下記子ってどれもこれも釣り餌に見えますな
0620１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 22:37:04
>>619いいえ本気でわからないんです・・
今年二年生になって代数学Ａが始まったんですが彼氏が他の男性と話すの嫌がるので男子にきけないんです。
{1,2,,,n}からそれ自身への置換全体がＳｎなのはわかります。ただ有限群ＧからＳｎへの写像をどう定義したらうまく準同型といえるのかわかりません。
0621１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 22:45:37
痴漢氷原
0622１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 22:48:12
>>621置換表現ｋｗｓｋ
0623１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 22:58:43
>>620
>今年二年生になって代数学Ａが始まったんですが彼氏が他の男性と話すの嫌がるので男子にきけないんです。
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Ｊ 　　　 　 　 |･ |―-､　　　　　　 |
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　　　　 　　 ﾉ＿　ー　 |　　　　　　|
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0624１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 23:05:45
>>625さん
お願いします。
大筋だけ教えてもらえませんか？
0625１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 23:07:50
自信を持って断ろう、ああ、そうしよう
0626１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 23:08:14
>>624
　　　　　　ﾊ,,ﾊ
　　　　　（ ﾟωﾟ )　　お断りします
　　　　／　　 　＼
　 ((⊂ 　） 　 ﾉ＼つ))
　　　　　（＿⌒ヽ
　　　　　　ヽ　ﾍ　}
　ε≡Ξ　ﾉノ ｀J
0627１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 23:09:49
3年の前期まで群の文字も出てこない俺の大学どうなってんだ？
0628１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 23:16:46
>>618
Gの元を適当に並べて、それにGの元gを作用させると、
並べ替えが起こる。それを痴漢だと思えばよい。
0629１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 23:30:36
>>628さん
ありがとうございます

∀ｇ∈Ｇ
φ：Ｇ→Ｇ　（ｘ→ｇｘ）
これがまず全単射ですよね

ｆ：Ｇ→Ｓｎ
この写像ｆが準同型であることはどういえばいいんでしょうか？


0630１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 23:36:56
>>629
fとしてg→φ[g]を考える　　(φ[g]：Ｇ→Ｇ ; ｘ→ｇｘ)
0631１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 23:37:10
>>629
φじゃなくてφ(g)とか書いて
普通に言えばいいだろ
0632１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 23:42:34
なるほど
∀ｇ∈Ｇ
φg：Ｇ→Ｇ　（ｘ→ｇｘ）を用意しといて

φ：Ｇ→Ｓｎ 　（ｇ→φg）
これが準同型であることをいえばいいんですね

Ｇの元ｇ,ｈに対して
φg◦φh（ｘ）＝φg（ｈｘ）＝ｇｈｘ＝φgh（ｘ）ですね！

つぎに何をいえばいいんでしょうか？



0633１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 23:46:34
感覚的にはφが単射を示したらＳｎの部分群と同型
って思ってしまうんですが自信が全くありません
0634１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 23:46:50
おいおい、そんなので大丈夫かよ・・・
あとはφ：Ｇ→Ｓｎが単射であることが言えればGとφ（G)が同型で証明は終わるだろ


そう言えば俺の大学置換表現飛ばしたな・・・
自力で習得したけど
0635１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 23:56:51
　　　　　　　　│＼
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　　　　　　　　│　　　＼≡//　))≡=
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0636１３２人目の素数さん2008/10/22(水) 23:57:25
>>634さん
ＧとＳｎの部分群が同型
⇔Ｇとφ（ｇ）が同型

↑これはなぜですか？

また
φが単射ならばＧとφ（ｇ）が同型といえるんですか？
0637１３２人目の素数さん2008/10/23(木) 00:00:49
　　 ∩＿＿＿∩　　　　 ／
　　 | ノ　　　　　 ヽ　　／
　　/　　＞　　　＜ |／　そんな餌ﾊﾟｸｯ
　 |　//// ( _●_)／ミ
　彡、　 　　 ｌ⌒l　 ノ
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　　|　　／＼　＼
　　|　/　　　 )　 )
　　∪　　　 （　 ＼
　　　　　　　 ＼,,＿）

　　 ∩＿＿＿∩
　　 | ノ　　　　　 ヽ
　　/　　●　　　● |　　オエー！！！
　　|　u　Ｕ ( _●_) ミ　。
　彡､　　　|ﾟ。､｀ ヽ。、ｏ
　/　＿＿　ヽU　　ｏ
. (＿＿＿）U　|　∴ｌ
. Ｏ|　　　　　　U　：l
　　|　　／＼　　|：!
　　|　/　　　 )　 Ｕ
　　∪　　　 （　 ＼
　　　　　　　 ＼,,＿）
0638１３２人目の素数さん2008/10/23(木) 00:02:16
>>636
さすがに釣りか？
0639１３２人目の素数さん2008/10/23(木) 00:02:34
>637
いえ・・・(苦笑)
まじでわかんないばかなんですあたし・・
0640１３２人目の素数さん2008/10/23(木) 00:02:46
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　ﾟ''!l'･r,|: .'ll广'.l,″ .,,r巛'″　 ,!''''''''" .'冖''''''..,lﾞ │ |　.|　 |　 |、　　　　.,l″,i´　 .,lﾞ　.,″ :|　:|、　　　　　　　,rｰ:'''r,、
　 │ .|］　: ﾞ'l， ﾞｋ,,,,|i,、ﾞ＜　　――i､ :ｯrr+',,i´ ,lﾞ　"　′ 〔　 ﾟ=i､,,,,.ｖ/°.,l°　.,i´ │　 │ ｀"'…‐: ｰi､　 ,i´,r'''ｯ ﾞト
　.,″.lﾞ.|　.-: :ﾞ*'":lﾞ　]ﾞｋ　,ト .:I'""ﾞ″ ._,,,,,〟　,r": :/　.i､　 ﾟ=,_　　　　._,x┘　　 ｈ,,.,lﾞ　　 ｀ﾍ＿,_、: : ._,|　　l, .ﾞl,_,/ .lﾞ
　'ﾍ｡,i´ﾞl＿＿＿＿,,/　ﾞ＜　 .ﾞl,r‐'''''"″.'ｋ..,r" ﾞl＿_,,r°　　 .~`''''''''`″　　　　　 ″　　　　　: ￣｀￣｀　　ﾞX＿,,,r°
0641１３２人目の素数さん2008/10/23(木) 00:04:12
部分群とか習いはじめてまだ2週目なんです・・
ほんきで釣りじゃないです・・
0642１３２人目の素数さん2008/10/23(木) 00:05:35
>>641
f：G→G' が準同型ならf(G)はG'の部分群
fの終集合をf(G)にしたf：G→f(G)は全射

おｋ？
0643１３２人目の素数さん2008/10/23(木) 00:06:03
　　　　　　┌──┐ ┌──┐ .┌──┐
　　　　　　│┌┐│ │　ロ　|　　l　 lｺ　｜
　　　　　　└┘ |_ノ　└──┘　└‐ワ__ﾉ
0644１３２人目の素数さん2008/10/23(木) 00:07:01
お前ら構い過ぎｗ
0645１３２人目の素数さん2008/10/23(木) 00:07:15
.ﾞ|ﾞﾞﾞ"''"ﾞﾞ"ﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞ''，　 r‐‐、　　.┬‐，　　'|ﾞﾞ"''''''''''┐ .|'''ッヽ　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 _,,,,ィ
: |　 z,,,,i､　lﾆ,i､　|　　|　 |　　　 ﾞl　.|,,,i､　|　ヶ 々 .|,_ |　ﾊ,,,lﾞ　　　　　　　　　　　　 |―￢''''''"ﾞﾞ｀　 |
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0646１３２人目の素数さん2008/10/23(木) 00:07:51
>>644
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0647１３２人目の素数さん2008/10/23(木) 00:12:50
>>642
ほんっとにありがとうございました！
こんなに釣り釣りっていわれるくらい程度の低い問題なんですね・・
勉強がんばります・
0648１３２人目の素数さん2008/10/23(木) 00:18:50
何所板紛？
0649１３２人目の素数さん2008/10/23(木) 00:20:24
うーんとー、私ぃすっごくすっごく暇でー、＼(⌒∇⌒)／
探してたら(◎_◎)なんとっ！☆彡(ノ^^)ノ☆彡ヘ(^^ヘ)☆彡(ノ^^)ノ☆彡
馬鹿みたいなスレ♪を発見！！！！(^o^)//""" パチパチパチ
さ・む・い～{{ (>_<;) }} ブルブル何個かレスがありますけど、
これ全部１人の方がレスしているんですか？（＠＠；）すごすぎ …
てなわけで、ついつい書いちゃったのらー(o^v^o) エヘヘφ(｀∇´)φカキコカキコ♪
削除依頼、出してくれるよねっ。(*^-^*)　お・ね・が・い♪(*￣・￣)ちゅ♪ッ
え？くれないのぉ～？(;￢_￢)そんなのいやいや～～、ｶﾞ━━━(ﾟﾛﾟ)━━━ﾝ
出してくれなかったら、( ｀_)乂(_´ ) 勝負！ ＼(^o^)／
☆○（゜ο゜)ｏ ぱ～んち、☆（゜o(○=（゜ο゜)ｏ バコ～ン!!( ﾟ▽ﾟ)=◯)`νﾟ)･;'パーンチ
（＞＿＜） いてっ！ダメ!! ゛o(≧◇≦*)oo(*≧◇≦)o″ダメ!!
(☆o☆)きゃ～～(@_@;)やられた～～(o_ _)o ドテッ　ガ━━（ﾟДﾟ;）━━ン！
(+_+) 気絶中。。。｡ということで。じゃあね～～～♪(⌒0⌒)／~~
0650１３２人目の素数さん2008/10/23(木) 18:30:50
ぶっちゃけ有名問題だから、大学の図書館で
いろいろ群論とか代数学の本調べれば
ほぼ同じ問題が載ってると思うぞ
0651１３２人目の素数さん2008/10/23(木) 18:42:34
有名問題というか、ケイリーの定理と呼ばれる有名定理
0652１３２人目の素数さん2008/10/24(金) 03:42:18


　　　　　　　　ｵﾜｷｬﾉﾝ　　　　　　　　　ｵﾜﾀﾝｸ　　　　　　　　　　　ｵﾜﾀﾑ

　　　　 　 ＠＼　　＠＼　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 ＼冂／
　　　　　　　 ＼ (^o^)＼ >　　　 @ヽ､　　 @ヽ､ 　 　　　　　　　　　E^o^ ﾖｉ /7
　　　＿()二)_（/~'ー,~~7.（≦）　　＼ ＼ 　 ＼ ＼　　　　　()) 　「/~'ー'~~ 7/￣ |
==ニ)]_] _迂〕 ,叉「」瓦〈‐|＿|　　　　＼　(^o^) ＼ >　　===二]匚ﾄ〈‐〈iﾃ〈〈c iｴｺ
　　　　Ｌｉ 弐ノ 「ｉｏiｦ_上.]|二|　　　＿（/~'ー,~~7_（≦）　　ﾉｦ 弐ノ[]ｖ/□ ||　╋|
　　　　　　　　　|＾ｰｉ|　　| る!　　 (88),叉「」〉(88)_,)ノ　　　　　　　　|　j |　|.|| ┃|
　　　　　　　　　◇-||◇┤ 　　　　 /三/,ｏ/~/三/0 ＼　　　　　　几０（几）L二!
　　　　　　　 ∠三0/ｉ二ｉ0 　　　　（三（ー―（三（0⊆0）　　　　∠三ｦ/ｉ二ｉヽ
0653１３２人目の素数さん2008/10/24(金) 16:05:51
2年でガロア理論まで教える大学ってある？
0654１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 01:02:41
Lang-Algebraって学部-修士一年程度の代数で他に本がいらなくなるくらいみっちり書かれてるのかな？
0655１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 01:58:17
Algebra: Serge Lang
Part 1 The Basic Objects of Algebra
Chapter I Groups 3
Chapter II Rings 83
Chapter III Modules 117
Chapter IV Polynomials 173
Part 2 Algebraic Equations
Chapter V Algebraic Extensions 223
Chapter VI Galois Theory 261
Chapter VII Extensions of Rings 333
Chapter VIII Transcendental Extensions 355
Chapter IX Algebraic Spaces 377
Chapter X Noetherian Rings and Modules 413
Chapter XI Real Fields 449
Chapter XII Absolute Values 465
Part 3 Linear Algebra and Representations
Chapter XIII Matrices and Linear Maps 503
Chapter XIV Representation of One Endomorphism 553
Chapter XV Structure of Bilinear Forms 571
Chapter XVI The Tensor Product 601
Chapter XVII Semisimplicity 641
Chapter XVIII Representations of Finite Groups 663
Chapter XIX The Alternating Product 731
Part 4 Homological Algebra
Chapter XX General Homology Theory 761
Chapter XXI Finite Free Resolutions 835
Appendix 1 The Transcendence of e and [Pi] 867
Appendix 2 Some Set Theory 875
Bibliography 895
0656１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 02:05:56
>>655 各章の詳しさはどんな感じ？
0657１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 14:15:38
K={0}って普通の演算において体になる？
その場合dimK^n=0？
0658１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 14:40:37
体の公理をもういっぺん読んでみろ
0659１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 14:59:15
Kが環であり0以外の元が逆元を持つ・・・

零環は1=0だから0^-1=0だが、0が逆元を持つときはどうなるの？
0660１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 17:19:36
>>658
0≠1 を公理にしている場合もあるけど、そうでない場合も多いと思います。
0661１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 17:26:52
>>627
大学二年でスリッパ教授にHodge作用素とか出されてぴよってたｵﾚはどうなるんだ！！！
0662１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 18:49:21
体は零元と異なる単位元の存在を要求する。だから零環はあっても零体はない。
0663１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 19:17:11
昔（1950年代頃まで）は環に単位元の存在を仮定しなかった。
これだと理論が煩雑になり、しかもメリットはほとんどない。
つまり単位元のない環は自然ではないんだな。
リー環のように結合律を満たさないものは別だが。
Bourbakiは早くからこのことに気づいていて環といえば単位元をもつものと
定義していた。
0664１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 22:21:12
そりゃ単に可換環論を詳しくあつかっただけだろう。

>>657
次元は-∞
0665１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 22:37:38
>>664
>そりゃ単に可換環論を詳しくあつかっただけだろう。

意味不明。
非可換環でも単位元を仮定するのが自然。
0666１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 23:19:30
ヘッケ環も単位元が普通？
0667１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 23:22:06
非可換環は便宜上単位元を仮定してる場合が多いが
別になくてもいい。

>>664 なんで-∞？
0668１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 23:30:12
>>667
>非可換環は便宜上単位元を仮定してる場合が多いが
>別になくてもいい。

それを言ったら可換環だってなくてもいいんだよ。
ただし、単位元がないといい結果が出てこない。
0669１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 23:34:28
Langで代数独学した人いない？
0670１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 23:37:20
>>667
食う酒烏合で生成されるから

>>668
ヘッケ環もいい結果が無いの？
0671１３２人目の素数さん2008/10/25(土) 23:39:34
空集合で生成って次元0じゃなかったっけ？
-∞で定義すると直和の時限とかの公式成り立たなくて不便なだけでは？
0672１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 00:02:49
>>670
ヘッケ環は単位元があるだろ。
0673１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 00:43:51
>>672
んじゃp-進数体上のGLのHecke algebraの単位元を教えてくれ。
0674１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 02:28:41
>>663
RNGに同形なRINGは自然に定義できるんじゃなかった？
06756742008/10/26(日) 02:34:11
ぼけてた。
RNGに同形なsub ringを含むRINGが定義できるだったorz
0676１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 03:19:42
>>673
GL(Z_p)の特性関数
0677１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 09:17:20
>>662
流儀による
0678１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 09:24:32
（可換）C*環なんかでは単位元の有無に関しての結果も豊富だよね．

例えば局所コンパクトな X 上の ∞で消える関数環 C_0(X) が
単位元を持つことと X がコンパクトであることは同値だとか，
単位元を持たないC*環は単位元を持つC*環にイデアルとして
埋め込めるけど，これはコンパクト化に相当するとか．
0679１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 09:45:46
>>677
そんな流儀はない。
１個の元からなる体はない。
0680１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 11:52:33
「ない」ことを断言できるのはすごいな。
ひとつでもそう書いてある文献があれば反証されるのに。
0681１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 11:56:34
>>680
>ひとつでもそう書いてある文献があれば反証されるのに。

なこたあない。
どこにもアホはいる。
0682１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 11:59:57
あのなあ、ここでは常識的な話をしてる。
屁理屈をこねるなよ。
0683１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 13:12:46
F_1 を特別視するのは何かと面倒な場面も多いんだけどな
0684１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 14:25:22
>>683
例えば？
0685１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 17:06:53
確かにLangのAlgebraは大学院初年級向けの
一般的な代数学のテキストとしてはかなり詳しい。
ただ何でもかんでも書いてあるかというとそうではなくて、
例えば群の表現とか可換環論とかホモロジー代数とか
そういう個別のトピックに関する情報が欲しければ
個別の分野の本の方が当然詳しい。

あと記述が丁寧というわけでは無いから、
この本一冊だけってのは結構苦しいんじゃなかろうか。
まあ図書館とかを利用すれば良いんだけどね。

>>680
じゃあ立証責任はそう書いてある文献があることを
示す側にあるんじゃないの
0686１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 17:21:32
将来解析専門にしたいけど
Langレベルの代数まで学ぶ必要はあるかな
Artinの代数は独学で一応やったんだけど。
06876742008/10/26(日) 20:31:42
>>686
C＊とかだとK-Theoryも分かんないと駄目なのでは？
0688１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 21:08:04
>>686
不要とは言わんけど他に優先するものもあると思う
0689１３２人目の素数さん2008/10/26(日) 21:21:38
証明される結果は解析学の方が美しいけど
証明のプロセスは代数学の方が美しい。
0690１３２人目の素数さん2008/10/27(月) 02:26:15
LangのAlgebra買うことにしよう。
Artinを読み返しながら
残りの学部二年半で読破を目指す。
0691１３２人目の素数さん2008/10/29(水) 02:24:22
(v_1+v_2)(×)w=v_1(×)w + v_2(×)w
という等式の証明についての質問です。


Rを可換環としV,Wを自由左R加群とし,M:=span(V×W)とする。
左R加群とは線形空間のスカラーが体の元から可換環の元に変わっただけだと思います。

自由とは基底を持つという意味です。

T:=span{(x_1+x_2,y)-(x_1,y)-(x_2,y),(x,y_1+y_2)-(x,y_1)-(x,y_2),(rx,y)-r(x,y),(x,ry)-r(x,y)}
(但し,x_1,x_2,x∈V, y_1,y_2,y∈W, r∈R,つまりTの生成元はMの元)
と定義し,

V(×_R)W:={{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v,w) (mod T)};(v,w)∈V×W}をR上のテンソル積という。
V(×_R)Wは単にV(×)Wと書いたりもする。

{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v,w) (mod T)}をv(×_R)wまたは単にv(×)wと書き,(v,w)のテンソルという。
つまりテンソルは類の事だと思います。

定義から
(v_1+v_2)(×)w=v_1(×)w + v_2(×)w
v(×)(w_1+w_2)=v(×)w_1 + v(×)w_2
(αv)(×)w=v(×)(αw) =α(v(×)w)

が成り立つとあったのですが
とりあえず
(v_1+v_2)(×)w=v_1(×)w + v_2(×)wを示してみようと思いまして
0692１３２人目の素数さん2008/10/29(水) 02:25:26
∀(α,β)∈v_1(×)w+v_2(×)wを採ると
v_1(×)w+v_2(×)w={(α,β)∈span(V×W);(α,β)≡(v_1,w)(mod T)}+{(α,β)∈span(V×W);(α,β)≡(v_2,w)(mod T)}だから
(α,β)=(α_1,β_1)+(α_2,β_2) …①
但し
(α_1,β_1)≡(v_1,w) (mod T)
(α_2,β_2)≡(v_2,w) (mod T)
という関係になっている。両辺を足して
(α_1,β_1)+(α_2,β_2)≡(v_1,w)+(v_2,w) (mod T) …②
そして
(v_1+v_2,w)-(v_1,w)-(v_2,w)≡0 (mod T) (∵Tの定義)より
(v_1+v_2,w)≡(v_1,w)+(v_2,w) (mod T) …③
②と③から
(α_1,β_1)+(α_2,β_2)≡(v_1+v_2,w) (mod T)
よって①から
(α,β)≡(v_1+v_2,w) (mod T).
∴(α,β)∈(v_1+v_2)(×)w
0693１３２人目の素数さん2008/10/29(水) 02:25:57
逆に
∀(α,β)∈(v_1+v_2)(×)wを採ると
(v_1+v_2)(×)w={(α,β)∈span(V×W);(α,β)≡(v_1+v_2,w)(mod T)}だから
(α,β)≡(v_1+v_2,w) (mod T)…④
そして
(v_1+v_2,w)-(v_1,w)-(v_2,w)≡0 (mod T) (∵Tの定義)より
(v_1+v_2,w)≡(v_1,w)+(v_2,w) (mod T) …⑤.
④と⑤より
(α,β)≡(v_1,w)+(v_2,w) (mod T).
これからこの(α,β)が
(α,β)=(α_1,β_1)+(α_2,β_2)且つ
(α_1,β_1)≡(v_1,w) (mod T)
(α_2,β_2)≡(v_2,w) (mod T)
という(α_1,β_1)と(α_2,β_2)の存在を示さないとと
(α,β)∈v_1(×)w+v_2(×)wとは言えませんよね。

どうすれば(α_1,β_1)と(α_2,β_2)の存在が示せますでしょうか?
0694１３２人目の素数さん2008/10/29(水) 02:35:21
>>689

両方やれって事かよ
0695１３２人目の素数さん2008/10/29(水) 06:51:07
体K上の２変数多項式環K[X,Y]のX^2-Y^3によって生成されるイデアル(X^2-Y^3)による
剰余環をRとするとき, R は整域であることを示したいんですがうまくできません

(X^2-Y^3)が素イデアルであることをしめせばいいのはわかるんですが
X^2-Y^3が因数分解できないから素イデアルであるとかではだめなんですよね
きちんとした証明がしりたいので教えてください
0696１３２人目の素数さん2008/10/29(水) 20:34:08
>>695
素イデアルの定義を考えればおｋ
0697１３２人目の素数さん2008/10/29(水) 22:30:36
自明
0698１３２人目の素数さん2008/10/30(木) 11:58:25
K:={a+b√5;a,b∈Q},P_n:={Σ[i=0..n]a_ix^i;a_i∈K}とする。

K上のテンソル積P_2(×)RとP'_2:={a_0+a_1x+a_2x^2;a_i∈R}とは同型である事を示せと言う問題です。

P_2(×)RからP'_2への全単射な同型写像fとしてどのようなものが取れますでしょうか?

P_2(×)R∋∀p(×)r→f(p(×)r):=????
0699１３２人目の素数さん2008/10/30(木) 14:43:32
>>695 K[X, Y] →　K[t] を　X, Yをそれぞれt^3, t^2に運ぶ
環準同型を定義して、その像が１次元であることは自明。
ゆえに核は高さ１の素イであるであり、UFDであることから
一つの元で生成される。また核にはX^2-Y^3が入っていることから
ちょっと考えると生成元がこれになることが分かる。
0700１３２人目の素数さん2008/10/30(木) 17:28:13
おい、礼ぐらいしろよ
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