> f(a)f(a^-1)=f(a*a^-1)=f(1)=1

f(a)f(a^-1)=f(a*a^-1)(∵環準同型の定義)=f(1)=1(∵環準同型の定義)
ですね。

(x,y)≡(v_1+v_2,w) (mod T)

から合同の定義より
(x,y)-(v_1+v_2,w)∈T
よって(x,y)=(t,s)+(v_1+v_2,w) (但し(t,s)∈T) (∵合同の定義)
と書けないのでしょうか?