代数学総合スレッド Part4
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0001１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 09:00:00代数学総合スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/
代数学総合スレッド Part2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/
代数学総合スレッド part3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1116279106/
0535１３２人目の素数さん
2008/10/09(木) 10:54:00product on V. By the quadratic form determined by g, we shall mean the
function
f:V→K such that f(v)=g(v,v)=<v,v>.
と二次形式の説明があります。
fが二次形式とはg:V^2→Kがあるとするとf:V→KをV∋∀x→f(x):=g(x,x)と定義されてる時,
fはgの二次形式であるとか言ったりするのでしょうか?
Let V be a finite dimensional vector space over a feild K. Let f:V→K be a
function,and assume that the fuction g defined by
g(v,w)=f(v+w)-f(v)-f(w) is bilinear. Assume that f(av)=a^2f(v) for all v∈V
and a∈K. show that f is a quadratic form,and determine a bilinear form from
which it comes.Show that this bilinear form is unique.
charK≠2.
と言う問題です。(ちなみにスカラー積の定義は(i) <v,w>=<w,v>, (ii) <u,v+w>=<u,v>=<u,w>,
(iii) <cu,v>=c<u,v> 且つ <u,cv>=c<u,v> (u,v,w∈V,c∈K))
最初の証明は
g(v,v)=f(v+v)-f(v)-f(v)=f(2v)-2f(v)=2^2f(v)-2f(v)=2f(v)となりました。
そこでcharK≠2なので2は逆元1/2を持ち,f(v)=1/2g(v,v)で確かにfは2次形式になってます。
0536１３２人目の素数さん
2008/10/09(木) 10:54:35もしf(v)=<v,v>'なるスカラー積<,>'があったとすると
∀v,w∈Vに対して<v,w>=<v,w>'が成り立つ事を言えばいいのだと思います。
<v,w>=<v,w>'を示すのに使える道具は
スカラー積の定義は(i) <v,w>=<w,v>, (ii) <u,v+w>=<u,v>=<u,w>,
(iii) <cu,v>=c<u,v> 且つ <u,cv>=c<u,v> (u,v,w∈V,c∈K) ((ii),(iii)は双線形))
と<v,v>=<v,v>'(i=1,2,…,n) …① だけですよね。
<v,w>=1/2(<v+w,v+w>-<v,v>-<w,w>)
<v,w>'=1/2(<v+w,v+w>'-<v,v>'-<w,w>')と書ける(∵スラカー積の定義)。
よって①から
<v+w,v+w>=<v+w,v+w>'
<v,v>=<v,v>'
<w,w>=<w,w>'
が成り立っているので<v,w>=<v,w>'が言えた。
これでいいでしょうか?
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