代数学総合スレッド Part4
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0001１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 09:00:00代数学総合スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/
代数学総合スレッド Part2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/
代数学総合スレッド part3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1116279106/
0529１３２人目の素数さん
2008/10/07(火) 21:03:03英語の勉強先にした方がいいぞ、おまえ。
1) (∃n)(∃m)(A^n=O and B^m=O)
2) AB=BA (同じ大きさじゃないとこれ言えんでしょ、そもそも・・・)
↓
(AB)^nm = (A^nm)(B^nm) (∵2) = (O^m)(O^n) = O
↓
AB: nilpotent
高校生でも解けるぞこれ。
0530１３２人目の素数さん
2008/10/08(水) 07:09:34ご回答ありがとうございます。
すいません。まだよく分かりません。
"same size"とはAもBも同じべき乗でOになるという意味ではないんですね。
AとBとが同じ行数と同じ列数という意味なのですね。
問題文はAは正方行列でAB=BAだと仮定しているので
AとBも同じ行数・列数になると思うのですが…。
それでこの"same size"はべき乗の意味だと解釈してました。
0531１３２人目の素数さん
2008/10/08(水) 09:01:00｢size｣って書いてあるじゃんｗ
0532１３２人目の素数さん
2008/10/08(水) 09:03:33せめてA+Bにすれだいいのに
0533１３２人目の素数さん
2008/10/08(水) 09:52:46勝手に解釈して勝手に間違えてりゃあ世話ねえな。
あんたが言ってるのは same order などと言われる。
0534１３２人目の素数さん
2008/10/08(水) 11:51:51どうもありがとうございました。
0535１３２人目の素数さん
2008/10/09(木) 10:54:00product on V. By the quadratic form determined by g, we shall mean the
function
f:V→K such that f(v)=g(v,v)=<v,v>.
と二次形式の説明があります。
fが二次形式とはg:V^2→Kがあるとするとf:V→KをV∋∀x→f(x):=g(x,x)と定義されてる時,
fはgの二次形式であるとか言ったりするのでしょうか?
Let V be a finite dimensional vector space over a feild K. Let f:V→K be a
function,and assume that the fuction g defined by
g(v,w)=f(v+w)-f(v)-f(w) is bilinear. Assume that f(av)=a^2f(v) for all v∈V
and a∈K. show that f is a quadratic form,and determine a bilinear form from
which it comes.Show that this bilinear form is unique.
charK≠2.
と言う問題です。(ちなみにスカラー積の定義は(i) <v,w>=<w,v>, (ii) <u,v+w>=<u,v>=<u,w>,
(iii) <cu,v>=c<u,v> 且つ <u,cv>=c<u,v> (u,v,w∈V,c∈K))
最初の証明は
g(v,v)=f(v+v)-f(v)-f(v)=f(2v)-2f(v)=2^2f(v)-2f(v)=2f(v)となりました。
そこでcharK≠2なので2は逆元1/2を持ち,f(v)=1/2g(v,v)で確かにfは2次形式になってます。
0536１３２人目の素数さん
2008/10/09(木) 10:54:35もしf(v)=<v,v>'なるスカラー積<,>'があったとすると
∀v,w∈Vに対して<v,w>=<v,w>'が成り立つ事を言えばいいのだと思います。
<v,w>=<v,w>'を示すのに使える道具は
スカラー積の定義は(i) <v,w>=<w,v>, (ii) <u,v+w>=<u,v>=<u,w>,
(iii) <cu,v>=c<u,v> 且つ <u,cv>=c<u,v> (u,v,w∈V,c∈K) ((ii),(iii)は双線形))
と<v,v>=<v,v>'(i=1,2,…,n) …① だけですよね。
<v,w>=1/2(<v+w,v+w>-<v,v>-<w,w>)
<v,w>'=1/2(<v+w,v+w>'-<v,v>'-<w,w>')と書ける(∵スラカー積の定義)。
よって①から
<v+w,v+w>=<v+w,v+w>'
<v,v>=<v,v>'
<w,w>=<w,w>'
が成り立っているので<v,w>=<v,w>'が言えた。
これでいいでしょうか?
0537１３２人目の素数さん
2008/10/09(木) 21:49:16だいたい全部 OK．以下こまかいこと．
> fが二次形式とはg:V^2→Kがあるとするとf:V→KをV∋∀x→f(x):=g(x,x)と定義されてる時,
> fはgの二次形式であるとか言ったりするのでしょうか?
いわない．g は一般の V^2 → K ではなく，スカラー積でないとダメ．
（スカラー積であれば，g に関する二次形式などと言う）
証明の前半はOK（g/2 がスカラー積であることには注意）．
後半は，一行目の
> 後半についてはまずg(v,w)を<v,w>と表す事にする。
が g(v,w)/2 のタイプミス．他は OK．
0538１３２人目の素数さん
2008/10/14(火) 12:31:240539１３２人目の素数さん
2008/10/14(火) 12:32:01ありがとうございました。
0540１３２人目の素数さん
2008/10/14(火) 21:20:21に絡み；【忙中（数秒∃)閑あり の際 遊び心で】次の中学生向きの 有理化の問を
K=Q[x]/f[x]*Q[x]|
|
Q
なる (Q上の有限次元のvector空間） Q上の有限次拡大体 の 視座から
此処に登場される世界の皆様に 解説を お願い致します。
------------------------------------------------------
頻出の分母の有理化ですが
http://jp.youtube.com/watch?v=i4F8x_6PHpY
ではなく 上の体Kの視座から お願い致します。
(イ 易) 1/(69 + Sqrt[19])
(ロ) 1/(7 + 5^(1/3) + 3^(1/5) + 2^(1/7))
問題(ロ) が 【徒に】【煩雑】な問 と とられかねない
＜とられかねない の検索結果 約 38,600,000 件＞ ので、
少し簡易化し ;
s=7 + 2^(1/7) + 3^(1/5)について
(1)f(s)=0となるsの最小多項式f(x)∈Q[x]を求めてください。
( その際 x = Sqrt[2] + Sqrt[3]は代数的数である.
何故ならばx-Sqrt[2]= Sqrt[3]の両辺を二乗すると
云々の論法が紹介されていましたのでその論法に倣い、
また 他の手法で最小多項式を求めてください。 ）
(2)体 Q[x]/f[x]*Q[x]において,xの逆元（が∃）を求めることにより、
1/sの分母の有理化をなさってください。
(3)中学高校の授業で示される手法
http://jp.youtube.com/watch?v=i4F8x_6PHpY
でも 1/sの分母の有理化をお願いします。
(ロ)1/(7 + 5^(1/3) + 3^(1/5) + 2^(1/7))もお願いします。
-----------------------------------------------------------------
0541１３２人目の素数さん
2008/10/16(木) 10:46:44T:=span{(x_1+x_2,y)-(x_1,y)-(x_2,y),(x,y_1+y_2)-(x,y_1)-(x,y_2),(rx,y)-r(x,y),(x,,ry)-r(x,y)}
と定義し,
V(×)W:={{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v,w) (mod T)};(v,w)∈V×W}をR上のテンソル積という。
{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v,w) (mod T)}をv(×)wと書き,(v,w)のテンソルという。
定義から
(v_1+v_2)(×)w=v_1(×)w + v_2(×)w
v(×)(w_1+w_2)=v(×)w_1 + v(×)w_2
(αv)(×)w=v(×)(αw) =α(v(×)w)
が成り立つとあったのですが
(v_1+v_2)(×)w∈V(×)Wを採ると,
(v_1+v_2)(×)w={(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_1+v_2,w) (mod T)}と書け、
∀(x,y)∈{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_1+v_2,w) (mod T)}をとると
(x,y)=(t,s)+(v_1+v_2,w) (但し(t,s)∈T) (∵合同の定義)
=(t+v_1+v_2,s+w)から
(t+v_1,s+w)+(t'+v_2,s'+w)の形
({(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_1,w) (mod T)}+{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_2,w) (mod T)}の元)
に持っていけません。
どのように変形すればいいのでしょうか?
0542１３２人目の素数さん
2008/10/16(木) 21:34:48ココが既にまちがっとる
0543１３２人目の素数さん
2008/10/16(木) 22:19:39aがRの可逆元ならf(a)も可逆元になりますか？
多分ならないとは思うんですが(´･ω･`)
0544１３２人目の素数さん
2008/10/16(木) 22:29:460545１３２人目の素数さん
2008/10/17(金) 08:51:10f(a)f(a^-1)=f(a*a^-1)(∵環準同型の定義)=f(1)=1(∵環準同型の定義)
ですね。
(x,y)≡(v_1+v_2,w) (mod T)
から合同の定義より
(x,y)-(v_1+v_2,w)∈T
よって(x,y)=(t,s)+(v_1+v_2,w) (但し(t,s)∈T) (∵合同の定義)
と書けないのでしょうか?
0546１３２人目の素数さん
2008/10/17(金) 23:21:07> (但し(t,s)∈T)
これが既に致命的な間違い
0547１３２人目の素数さん
2008/10/18(土) 08:52:21>> (但し(t,s)∈T)
> これが既に致命的な間違い
Tの元はTの定義から
a(x'_1+x'_2,y')-a(x'_1,y')-a(x'_2,y')とb(x',y'_1+y'_2)-b(x',y'_1)-b(x',y'_2)とc(rx',y')-cr(x',y')とd(x',ry')-dr(x',y')
(但し,a,b,c,d∈R)の一次結合
a(x'_1+x'_2,y')-a(x'_1,y')-a(x'_2,y')+b(x',y'_1+y'_2)-b(x',y'_1)-b(x',y'_2)+c(rx',y')-cr(x',y')+d(x',ry')-dr(x',y')
つまり,
(ax'_1+ax'_2-ax'_1-ax'_2+bx'-bx'-bx'+crx'-crx'+dx'-drx',ay'-ay'-ay'+by'_1+by'_2-by'_1-by'_2+cy'-cry'+dry'-dry')
の形で書けますよね。間違ってますでしょうか?
0548１３２人目の素数さん
2008/10/18(土) 22:28:06「つまり」以降が致命的にまちがい
まったくつまっていない。
0549１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 03:11:07> 「つまり」以降が致命的にまちがい
> まったくつまっていない。
では
a(x'_1+x'_2,y')-a(x'_1,y')-a(x'_2,y')+b(x',y'_1+y'_2)-b(x',y'_1)-b(x',y'_2)+c(rx',y')-cr(x',y')+d(x',ry')-dr(x',y')
以降はどのように書けますでしょうか?
0550１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 03:24:35そんなこともわからずにテンソルテンソル言ってたんですか。
0551１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 03:29:03span(VxW)はそもそも単に形式和の定義されただけの
自由加群であって、スカラー倍すら定義されてないわけだが。
0552１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 18:34:12だからHomの性質からテンソルの性質が出てくる。
これを認識してないやつが多すぎる。
俺もこれを知って目から鱗
因みに代数やるやつ、っていうか数学やるやつは圏論の基礎を知らないと
話にならない。
0553１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 19:46:56というか平均的にはそっちのほうが多いかも。
0554１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 19:59:35それは無知なだけ。
昔は集合論を知らなくても数学は出来たというようなもん。
0555１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 20:03:10しかし、圏論は言葉という面もあるからね。
知らないやつと話すのはくたびれる、つーか話したくない。
0556１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 20:06:49定義と基礎的な定理、例えば米田の補題くらいなら1日で学べるくらい
簡単なんだから。
0557１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 20:37:42圏論の初学者向けの本教えてくれ
もちろん日本語の
0558１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 20:41:06>もちろん日本語の
甘えるな。
英語出来ない時点で数学はやる資格なし。
圏論より英語の勉強が先だ。
0559１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 20:43:030560１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 20:46:29日本人の誇りを失ったのか
0561１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 20:51:58ありがとう
0562１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 20:53:56アホか。
そういう問題じゃない。
数学の世界では英語が共通語なんだよ。
0563１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 20:55:20うるせえ
俺は英語厨とは断固戦う
外人には日本語を要求する
0564１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 20:58:33日本語は別の論理体系っぽい
0565１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 20:59:54勝手にすればいい。
その代り翻訳とかも読むなよ。
もとねたはお前の嫌いな英語なんだからな。
つーかカタカナ英語も使うな。
もとは英語なんだからな。
0566１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 21:04:17>日本語は別の論理体系っぽい
なこたあない。
論理が違ったら日本語で数学が出来ないことになる。
現実は問題なく出来てる。
0567１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 21:08:19いや、disjointという意味じゃなくて、
なんか＋αなのかねじれてるというか、
同形じゃない感じなんだよ。
ああ、この板で感じとかいうとﾌﾙﾎﾞｯｺにされそうだけどw。
0568１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 21:12:21>ああ、この板で感じとかいうとﾌﾙﾎﾞｯｺにされそうだけどw。
わかってるじゃないか。
論理なんて単純だから言語の違いなんて問題にならない。
A なら B とか、A かつ B とかな。
どこがむずいんだよ。
0569１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 21:12:42a → ∀
the → ∃
ってな感じで。
日本語でも表現はできるけど、意図的に意識してやってる感じなんだよね。
0570１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 21:18:55単なる記号だろ。
因みに a → ∀ じゃないだろ。
それを言うなら all → ∀
the → ∃じゃなくて exist → ∃
どこがむずいんだよ。
0571１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 21:21:53むずいとかの話じゃないんだけど、まあ個人的な感想の話だし、
これ以上やるとUAとかUGとかGGの話に飛びそうだから止めとくか。
そもそも板違いだしw。
0572１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 21:28:27>まあ個人的な感想の話だし、
逃げたなｗ
0573１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 21:34:37冠詞 総称表現 で ぐぐれ。 呆れた。
0574１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 23:10:35なんで冠詞が出てくるんだよ。
The lion is dangerous の the は all という意味もある。
0575１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 23:41:01その場合は「ライオン」というカテゴリを指すから、ALLと解釈するのはちと違う。
0576１３２人目の素数さん
2008/10/19(日) 23:45:04それを言ったら A lion is dangerous も同じ。
要するに冠詞はお門違い。
0577１３２人目の素数さん
2008/10/20(月) 01:31:00http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1224000009/47以降に
レスしといた
0578１３２人目の素数さん
2008/10/20(月) 01:42:48めんどくせえよ、アホ
0579１３２人目の素数さん
2008/10/20(月) 10:29:15> 「以降」はそもそも計算できないので書けません。
> そんなこともわからずにテンソルテンソル言ってたんですか。
あまり詳しくなくてすいません。
それでは
「定義から
(v_1+v_2)(×)w=v_1(×)w + v_2(×)w
v(×)(w_1+w_2)=v(×)w_1 + v(×)w_2
(αv)(×)w=v(×)(αw) =α(v(×)w)
が成り立つ」
はどうやって証明するのでしょうか?
0580１３２人目の素数さん
2008/10/20(月) 19:51:19まさに定義からでしょ。一番上だったら
(v_1 + v_2, w) = (v_1, w) + (v_2,w) (mod T)
が T の定め方から成り立つから、で十分。
0581１３２人目の素数さん
2008/10/21(火) 00:05:350582１３２人目の素数さん
2008/10/21(火) 02:36:040583１３２人目の素数さん
2008/10/21(火) 03:34:53まあリー環論と表現論って応用というべきかどうかは分からんけど。
多様体論も表現論も物理数学だから純粋数学じゃないとか
言い出したら知らんけど。
0584１３２人目の素数さん
2008/10/21(火) 10:13:41>>>579
> まさに定義からでしょ。一番上だったら
> (v_1 + v_2, w) = (v_1, w) + (v_2,w) (mod T)
> が T の定め方から成り立つから、で十分。
すいません。Tの定め方からの意味がよく分かりません。すいません。
{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_1+v_2,w) (mod T)}
=
{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_1,w) (mod T)}+{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_2,w) (mod T)}
を示すんですよね。
まず左⊂右を示したいですが
∀(x,y)∈{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_1+v_2,w) (mod T)}をとると
これから,どのように書けますでしょうか?
「(x,y)=(t,s)+(v_1+v_2,w) (但し(t,s)∈T)」は間違いなんですよね?
0585１３２人目の素数さん
2008/10/21(火) 14:35:46特に量子力学にまったく興味の無い純粋数学者にとって
0586１３２人目の素数さん
2008/10/21(火) 15:06:04物理数学の教科書に線型代数が載ってるからって
線型代数は物理数学だから純粋数学じゃない、とは言わないのと同じで。
0587１３２人目の素数さん
2008/10/21(火) 17:31:53（A,B：集合、線型空間、群、環、イデアルなど）
0588１３２人目の素数さん
2008/10/21(火) 17:46:41たとえば整数論などへの。
0589１３２人目の素数さん
2008/10/21(火) 18:40:350591１３２人目の素数さん
2008/10/21(火) 19:30:450592１３２人目の素数さん
2008/10/21(火) 20:12:48これにはネーター環とか書かれていないので
そういうのが書かれているオススメの参考書を教えてください
0593１３２人目の素数さん
2008/10/21(火) 21:03:40英語ならだいたい A mod B。A わる B もよく聞く。
0595１３２人目の素数さん
2008/10/21(火) 23:32:410596１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 00:11:240597１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 00:29:55「Bで割った奴から～」なんて言い方してる気がする
0598１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 02:30:57線形と微積は終わったとして
0599１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 02:32:58現代代数学（ファン・デル・ヴェルデン）
現代代数学概論（バーコフ/マクレーン）
0600１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 02:55:400601１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 02:59:450602１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 03:17:39ノーテーションとか定義などの流儀とかは時代によるでしょ
ピタゴラスの定理をまなぶためにユークリッドの原論よまんでしょ
0603１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 03:25:52この流れはガチで釣りだｗ
0604１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 03:41:470605１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 03:42:5520世紀の定番が古いとか言い始める感覚はちょっとな。
0606１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 03:43:300607１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 05:46:35古い教科書で正しいことは新しい教科書でも正しい。
物理も大概そう。
ちょっと導入の仕方が違ったりするだけ。
0608１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 06:40:01わけだがらこれのさわり、または準備は教科書に入れておいたほうが
いいだろう。
例えばHomの左完全性とかテンソル積の右完全性とかな。
総じて加群の一般理論が重要になる。
これ等は古い教科書にはあまり載ってない。
0609608
2008/10/22(水) 06:41:250610608
2008/10/22(水) 06:47:33かかわらず、これ等が導入されたのは１９５０年代と比較的新しい。
非常に基本的なものというのは灯台もと暗しで気付きにくい。
だから、まだ発見されてない概念で非常に重要かつ基本的なものが
あるかもしれない。
0611１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 11:35:17| 釣れますか？ ,
＼ ,／ヽ
￣∨￣￣￣￣￣￣￣ ,／ ヽ
∧＿∧ ∧∧ ,／ ヽ
（ ´∀｀） (ﾟДﾟ,,),／ ヽ
（ ） (| つ@ ヽ
｜ ｜ | ＿＿_ ～| | ヽ
（_＿）＿） |――|. ∪∪ ヽ
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣| ヽ
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0612１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 12:17:47群論なんかは別に一冊買って有限群とか表現論とかに
滅茶苦茶詳しくなる必要は無いかもしれないけど
ホモロジー代数を代数学の一般的教科書で
30ページくらい勉強しても仕方が無いんじゃ。
0613608
2008/10/22(水) 12:59:04しかし、現代的な加群の一般論は早期に導入したほうがいい。
0614１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 14:55:32｜
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｜ ＞( c´,_ゝ`)
｜
J ＞( c´,_ゝ`)
＞( c´,_ゝ`)
0615１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 16:12:270616１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 17:17:40ちゃんとガロア理論なりホモロジー代数なり表現論の本を読んだ方がいい訳で
0617１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 18:23:52「代数学の本」は定義+α程度で満足しておいたほうが幸せになれる気がする．
0618１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 21:57:22位数ｎの有限群Ｇはｎ次対称群Ｓｎのある部分群と同型であることを示せ
とっかかりが全然わかりません。
0619１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 22:23:400620１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 22:37:04今年二年生になって代数学Ａが始まったんですが彼氏が他の男性と話すの嫌がるので男子にきけないんです。
{1,2,,,n}からそれ自身への置換全体がＳｎなのはわかります。ただ有限群ＧからＳｎへの写像をどう定義したらうまく準同型といえるのかわかりません。
0621１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 22:45:370622１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 22:48:120623１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 22:58:43>今年二年生になって代数学Ａが始まったんですが彼氏が他の男性と話すの嫌がるので男子にきけないんです。
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0624１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 23:05:45お願いします。
大筋だけ教えてもらえませんか？
0625１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 23:07:500626１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 23:08:14ﾊ,,ﾊ
（ ﾟωﾟ ) お断りします
／ ＼
((⊂ ） ﾉ＼つ))
（＿⌒ヽ
ヽ ﾍ }
ε≡Ξ ﾉノ ｀J
0627１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 23:09:490628１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 23:16:46Gの元を適当に並べて、それにGの元gを作用させると、
並べ替えが起こる。それを痴漢だと思えばよい。
0629１３２人目の素数さん
2008/10/22(水) 23:30:36ありがとうございます
∀ｇ∈Ｇ
φ：Ｇ→Ｇ （ｘ→ｇｘ）
これがまず全単射ですよね
ｆ：Ｇ→Ｓｎ
この写像ｆが準同型であることはどういえばいいんでしょうか？
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