不信をかってしまったようですが、可換性は正しいようですね。
ありがとうございます。
体上のベクトル空間と体上の多元環の間で混乱しておりまして、
このようなおかしな質問となってしまいました。
体上の有限次元ベクトル空間は可換な有限次元多元環の構造を常に持つのですね。