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代数学総合スレッド Part4

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0001１３２人目の素数さん2007/08/25(土) 09:00:00
代数に関する話題全般のスレッドです。

代数学総合スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/
代数学総合スレッド Part2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/
代数学総合スレッド part3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1116279106/
0446１３２人目の素数さん2008/08/14(木) 11:33:24
http://www.technobahn.com/news/2008/200803271347.html
http://arxiv.org/abs/0803.3435
0447１３２人目の素数さん2008/08/14(木) 12:29:32
有限群論って組合せ論やグラフ理論と似た考え方がモロに出て来るから
これらに慣れていてば余り難しく感じられなくなるんないんじゃないか？
無限群論だと話は別かも知れないが。
0448１３２人目の素数さん2008/08/14(木) 13:08:22
訂正:
>>447の「慣れていてば」は「慣れていれば」の間違い。
0449１３２人目の素数さん2008/08/14(木) 22:41:59
まあ虱潰しにある可能性を一つ一つ潰していくような証明が
嫌いってのは分からんでもない。

有限群論に限らず、代数幾何とかの三次～～を
百何十何通りに分類した、とかそういうのもこの種の証明だけど。
0450１３２人目の素数さん2008/08/15(金) 00:50:11
ようは、何百通りもの場合分けを人間の脳が楽勝で把握出来ればいいんだろ
0451666thVirtue ◆naedFapghQ 2008/08/15(金) 01:15:12
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04521stVirtue ◆.NHnubyYck 2008/08/15(金) 12:11:14
Reply:>>451 お前は何をしに来た。
0453１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 01:56:34
質問です。次のことは正しいでしょうか？

可換体kに対して直積環k^{n}は
成分ごとの和、積、スカラー倍によって可換なn次元k-多元環になり、単位元は(1,・・・1)。
このとき任意の(x_{1},・・・,x_{n}) \in k^{n}は逆元(x_{1}^{-1},・・・,x_{n}^{-1}) \in kを持つので単元である。
よってk^{n}も可換体である。

なんか変な感じがします。間違いがあったら指摘して下さい。
0454１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 02:04:25
k^nの零元は何?
0455１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 02:07:00
k^{n}の零元は(0,・・・,0)です。
0456１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 02:11:40
>>455
つまり、それ以外の元は全部単元というのだね。
それで、(1,0,0,...,0)の逆元は何になるの?
0457１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 02:14:44
なるほど。それはべき等元でした。ありがとうございます。
k^{n}が可換なn次元k-多元環というのは正しいでしょうか？
0458１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 02:24:04
正しいならば証明を書いてみればよい。
間違いならば反例を出せばよい。
本件では難しいことではない。
0459１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 02:32:32
>>458
おっしゃる通りです。証明してみました。
k^{n}はn次元k-多元環の条件はすべて満たします。
ただ可換性の証明してみると、
(x_{1},・・・,x_{n})・(y_{1},・・・,y_{n})
= (x_{1}y_{1},・・・,x_{n}y_{n})
= (y_{1}x_{1},・・・,y_{n}x_{n})
= (y_{1},・・・,y_{n}) ・(x_{1},・・・,x_{n})
というように単純なのですが、なにか違和感を感じました。
反例も見つけられません。
可換性は正しいのでしょうか。
0460１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 02:34:36
何が不審なのやら…
0461１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 02:42:54
まあ簡単すぎて逆に何が何やら良く分からない、
ってのはたまにあるよね。
04624592008/08/25(月) 03:03:35
不信をかってしまったようですが、可換性は正しいようですね。
ありがとうございます。
体上のベクトル空間と体上の多元環の間で混乱しておりまして、
このようなおかしな質問となってしまいました。
体上の有限次元ベクトル空間は可換な有限次元多元環の構造を常に持つのですね。
0463１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 03:06:43
>>462
もちません。
0464１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 03:08:05
>>462
任意のベクトル空間に入れられる自明なリー環構造って知ってる？
0465１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 03:09:49
> 体上の有限次元ベクトル空間は可換な有限次元多元環の構造を常に持つのですね。

逆じゃないの?
多元環が出てくる文脈だと、畳み込みとか括弧積とかのほうが
そんなわけのわからん積よりは普通に出てくるでしょ。
04664592008/08/25(月) 03:11:51
>>463
たびたびありがとうございます。
体上の数ベクトル空間（=k^{n}）は可換な有限次元多元環の構造を常に持つ、
なら正しいのでしょうか。
0467１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 03:15:39
>>466
内在構造ではない、と言ってる。
0468１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 03:17:17
>>466
ただしくありません。
04694592008/08/25(月) 03:18:10
>>464,465
直積環の文脈で考えているので、この積（各成分ごとの積）について
k^{n}の多元環の構造を考えています。
04704592008/08/25(月) 03:20:57
>>467
体上の有限次元数ベクトル空間k^{n}に各成分ごとの積を定義すれば、
この積によって、k^{n}は可換な有限次元多元環の構造を持つ、
なら正しいということでしょうか。
0471１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 03:22:29
>>470
そういうこと
04724592008/08/25(月) 03:25:16
>>471
ありがとうございます。こんな時間におつきあい下さいまして感謝します。
まだまだ勉強不足なものでお恥ずかしい限りです。無知をお許し下さい。

0473１３２人目の素数さん2008/08/25(月) 03:25:32
>>466とかだと「任意の集合は位相空間である」とか
「任意の有限集合は測度空間である」とか
言ってるのと変わらんわけで。
0474ご冥福をお祈りします2008/08/29(金) 22:37:19
京都大名誉教授の永田雅宜さん死去
http://www.asahi.com/obituaries/update/0828/OSK200808280076.html
　永田　雅宜さん（ながた・まさよし＝京都大名誉教授・代数学）が２７日、胆管がんで死去、８１歳。
葬儀は親族のみで行う。喪主は妻千種（ちぐさ）さん。後日、「お別れの会」を開く予定。
0475(-人-)ﾅﾑﾅﾑ2008/08/30(土) 03:08:01
(-人-)ﾅﾑﾅﾑ
0476１３２人目の素数さん2008/09/11(木) 18:59:34
http://math.stanford.edu/~conrad/papers/nagatafinal.pdf
亡くなった、永田先生の業績と一点コンパクト化がどのように関係あるのか
説明できる人居ませんか？上の論文にその事が書いてあるらしいのだけど
論文の説明できる人居ませんか？

大好き代数幾何のスレにも投稿しましたが、すみません。よろしくお願いします。
0477１３２人目の素数さん2008/09/11(木) 19:00:52
あげ
0478１３２人目の素数さん2008/09/11(木) 19:04:05
マルチすんなﾎｳﾞｪ
0479１３２人目の素数さん2008/09/11(木) 20:45:23
マルチしてすいません。でも、答えてくれる人を探してるんです。
よろしくお願いします。
0480１３２人目の素数さん2008/09/13(土) 14:56:13
あげ
0481１３２人目の素数さん2008/09/13(土) 15:48:34
>>476ですが、２ｃｈで答えてくれる人見つけるのは難しいでしょうか？
偉い学者でも２ｃｈ見る人は居ると思ったのですが・・・。
それとも、マルチしたから顰蹙買って答えてもらえないんでしょうか？
0482１３２人目の素数さん2008/09/13(土) 16:48:14
2chに「役に立つこと」を期待すること自体が間違い。
匿名で掲示板に書き込めば魔法の箱のように答えが出てくると思ってる奴をみると
反吐が出るなｗ
なんでてめーの代わりに論文読んでやらないとならんのだよ。
0483１３２人目の素数さん2008/09/13(土) 18:40:39
>>482
永田先生が亡くなったし、永田先生の業績をみんなが知ることは
良いことだと思うし。
まあ、反吐がでるとか思ってるかも知れないけど、そう言わずに
論文読む力があるなら教えてください。お願いします。m(_ _)m

0484１３２人目の素数さん2008/09/13(土) 18:50:45
>>482
基礎学力と英語の力の不足から自分で読めないです。申し訳ない。
もし、読めるんでしたらよろしくお願いします。
他スレで上の論文に永田先生の業績と一点コンパクト化の関係
が書いてあると聞きました。目的の論文が見つかって感激したのですが
自分ではやはり力不足で読めません。誰か素人にも分かるように
解説していただける方がいらっしゃればありがたいです。
0485１３２人目の素数さん2008/09/13(土) 18:51:24
我々が教えてクンに教えることが出来るのは
「情報はそう簡単には手に入らない」
「食い下がれば教えて貰えるような ものでもない」
ということである。
0486１３２人目の素数さん2008/09/13(土) 19:00:01
教えてクンという一言であらゆる質問者を画一的に扱い自分が答えられないことを
必死になって隠してるやつがいるんだよなｗ
0487１３２人目の素数さん2008/09/13(土) 19:48:39
そして結局誰も答えないという＾＾
0488１３２人目の素数さん2008/09/14(日) 06:15:27
少なくとも俺にはわかんねーし
0489１３２人目の素数さん2008/09/14(日) 13:06:42
あげ
0490miwa2008/09/15(月) 10:48:30
[問]A^r=O (rは自然数)となるべき乗行列とする。

行列A,Bがともに同じ大きさのべき乗行列でAB=BAが成り立っている時,
ABとA+Bもべき乗行列になる事を示せ。

[解]
AB=BAより
(AB)^r=A^rB^r=O・O=OでABがべき乗行列である事は直ぐ示せたのですが
(A+B)^r=Σ[k=0..r](r-k)CkA^(r-k)B^r
から先に進めません。どうすれば=0にたどり着けますでしょうか?
0491１３２人目の素数さん2008/09/15(月) 11:19:57
便所　便所　便所　便所　便所　便所　便所　便所　便所　便所　便所　
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0492１３２人目の素数さん2008/09/15(月) 11:25:24
便所＝kingの部屋
0493菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU 2008/09/15(月) 12:02:05
>>490
r乗ではなく2r乗したらいいと思う。
0494miwa2008/09/15(月) 12:52:43
> r乗ではなく2r乗したらいいと思う。

ありがとうございます。すんなり示せました。
0495１３２人目の素数さん2008/09/15(月) 16:35:55
数科４年です。
ゼミでガロア理論をやってるのですが、正直今までテスト前だけ勉強やって
４年まで来たのでほとんど数学を理解してません。
それで石村園子の｢すぐわかる代数｣をやったらかなり代数について理解できた気がします。（というか集合論について）
ただ、これは入門中の入門だと思うのでその後の代数について触れてある本を読みたいです。
｢すぐわかる代数｣は準同型定理までしか書いてないのでとりあえずイデアル、代数拡大辺りをやりたいのですが、ちょうどいい本ってありますか？
この本みたいに読んでかるく演習を解けば理解できる本が理想です。
0496１３２人目の素数さん2008/09/15(月) 16:39:22
>>495　分厚いけど　Algebra-M,Artinなら大体のこと書いてるよ。
　演習問題も馬鹿みたいに多いし高校生以上の知識あるならいきなり読める。
0497１３２人目の素数さん2008/09/15(月) 16:41:19
>>496
どうもです。
洋書ですか…！英語で書いてあるんですか？
英語ちょっと読めないので、できたら和書がいいんですが…。
0498１３２人目の素数さん2008/09/15(月) 17:25:29





　　　　　　　　　　　　　　　　２ちゃんって最低





0499KingMind ◆KWqQaULLTg 2008/09/15(月) 17:55:00
Reply:>>492 お前は何をしようとしている。
0500１３２人目の素数さん2008/09/17(水) 09:40:37
>>495のようなテスト前だけしか勉強しない奴が日本語で書かれていない本を読めないことくらいアルツハイマーでも分かるのに
あえて洋書を薦める２ちゃんねらーってマジで最低だな
0501１３２人目の素数さん2008/09/17(水) 14:26:27
どういたしまして＾＾
0502１３２人目の素数さん2008/09/17(水) 18:55:10
数学科はそういう空気読めない奴多そうだからねー

ただ代数入門みたいな本はバックグラウンドの知識自体は
ほとんど同じなので、あとは如何に気合出して読むか、
という問題が一番大きいと思うなあ。
まあ今の「数学的素養」で服部昭の「現代代数学」みたいなの読んだら
いくら頑張っても第一章終わる前に撃沈しそう、とかそういうのはあるが。

松坂の代数系入門とか、「群・環・体入門」とか、
あとは、多少難しくなるけど東京大学出版会の「大学数学の入門」シリーズとかかなあ。
0503１３２人目の素数さん2008/09/25(木) 06:13:09
永田せんせの
カカンカンロン
読みなさい
0504１３２人目の素数さん2008/09/25(木) 06:16:19
>>479
携帯からでも見れるようにしてくれたら
わしが答えてやる
PDFファイルはちと難儀じゃ
0505１３２人目の素数さん2008/09/29(月) 08:45:13
Let V be a vector space of dimension n over the field K.Let V^** be the dual space of V^*. Show that each element v∈V gives rise to an element λ_v in V^** and that the map v|→λ_v gives an isomorphism of V with V^**.

と言う問題で「v∈Vの各元はλ_v∈V^**にriseを与える」
とはどういう意味なんでしょうか?

riseとは??
0506１３２人目の素数さん2008/09/29(月) 11:31:32
give rise to で一括りだ
0507１３２人目の素数さん2008/09/30(火) 13:49:00
> give rise to で一括りだ

ありがとうございます。
0508１３２人目の素数さん2008/10/03(金) 20:18:09
線形代数を学ばず一般の代数から入ることは可能だろうか
0509１３２人目の素数さん2008/10/03(金) 20:45:23
無理だろ。
ほとんどの概念は線形代数がベースだもの。
0510１３２人目の素数さん2008/10/03(金) 22:55:53
ﾜﾛｽ
0511１３２人目の素数さん2008/10/04(土) 00:44:58
というかvan der Waerdenの現代代数学とかは
線型代数はかなり後の章にならないと出て来ない。

これで代数学を勉強した人は>>508の言うような順番で勉強したはず。
0512１３２人目の素数さん2008/10/05(日) 13:28:15
Sylvesterの定理について調べています。

VをR上の有限次元スカラー積空間とし{v_1,v_2,…,v_n}をVの直交空間とする。
その時,r={v∈{v_1,v_2,…,v_n};<v,v>>0}なる正整数rが存在する。

という解釈で大丈夫でしょうか?
0513１３２人目の素数さん2008/10/05(日) 13:33:10
初めて代数学スレに来てみたけど
代数ってxyとか簡単なことじゃなかったのな
0514１３２人目の素数さん2008/10/05(日) 13:37:42
>512
訂正
r=#{v∈{v_1,v_2,…,v_n};<v,v>>0}
です。
0515１３２人目の素数さん2008/10/05(日) 15:05:18
齋藤正彦「線型代数入門」p160に関して質問です。
p160の下から二行目のsgnA=(p,q)の部分で、この場合のsgnはどういう意味なのでしょうか？？
行列式の章で、置換の符号という意味でのsgnは知っているのですが、この場合はある行列Aに対してsgnAと書かれています。
なので、この場合のsgnの意味が分からないのですが、どなたか教えてくださいm(__)m
0516１３２人目の素数さん2008/10/05(日) 15:12:27
どうみても符号数だろ。
記号が常に一意だとかおもってたら
函数 f とか迂闊に書けないジャン。
0517１３２人目の素数さん2008/10/05(日) 15:39:32
もっと詳しく書いてくれないと使われてる状況がわからんよ～
0518１３２人目の素数さん2008/10/05(日) 15:50:31
この板の住人なら齊藤の線型代数入門くらい手元にあると思ってた
0519１３２人目の素数さん2008/10/05(日) 15:52:06
俺は佐竹の方なんでね。
05205152008/10/05(日) 15:55:02
>>515
ご返答ありがとうございます。
確かにそのようですね。sgnをそう捉えると後の部分との整合性がとれているように思います。

>>517
すみません(>_<)
みんなこの本を持っているだろうから、ある程度質問の要点を記せば分かってくれるだろうと勝手に思い込んでいたので、今後気をつけます。
0521１３２人目の素数さん2008/10/05(日) 18:59:06
>>512 >>513
意味不明

> {v_1,v_2,…,v_n}をVの直交空間
左辺は n 個の元からなる集合だよね。これが「直交空間」であるとはどういうこと？

> r=#{v∈{v_1,v_2,…,v_n};<v,v>>0}
内積は <v,v> > 0 (v ≠ 0) を満たすので、これだと r = n となるが？
0522１３２人目の素数さん2008/10/05(日) 20:30:05
直行規定、複素上の間違いだろう。
0523１３２人目の素数さん2008/10/06(月) 02:00:57
>522 >521

ありがとうございます。

>> {v_1,v_2,…,v_n}をVの直交空間
> 左辺は n 個の元からなる集合だよね。これが「直交空間」であるとはどういうこと？

直交基底といいたかったのでした。


> 複素上の間違いだろう。

いえ、確認しましたがやはりR上になってます。


> r=#{v∈{v_1,v_2,…,v_n};<v,v>>0}
> 内積は <v,v> > 0 (v ≠ 0) を満たすので、これだと r = n となるが？

内積ではなくスカラー積
(ちなみにスカラー積の定義は(i) <v,w>=<w,v>, (ii) <u,v+w>=<u,v>=<u,w>,
(iii) <cu,v>=c<u,v> 且つ <u,cv>=c<u,v> (u,v,w∈V,c∈F) の3つ)
なので<v,v> > 0 (v ≠ 0)とは必ずしも言えないと思うのですが…。
0524１３２人目の素数さん2008/10/06(月) 04:34:35
>>511
うん、最初にWell-orderingとかやってRingいってVector Spaceでそのあとmoduleって感じの本でやってる。
GroupとFieldはその間にちょろちょろ。
0525１３２人目の素数さん2008/10/06(月) 05:38:45
>>523
スカラー積と内積は同じ意味で使うことのほうが多いように思う．
その「スカラー積」は，双線型形式とか退化内積と言うことが多い．

で，>>512 の記述は雰囲気は正しいが，ちょっと間違っている．
(1) は間違いで，(2),(3) は本来の定理よりも弱い部分：

(1) 数 r が基底の取り方に依存する書き方になっているが，
これだと当たり前の主張．ポイントは r が基底の取り方に依らないこと．

(2) 基底が直行している必要はない．

(3) <v, v> < 0 なるものの数に対しても同様の主張が成り立つ．
0526１３２人目の素数さん2008/10/07(火) 13:24:20
A square matrix A is said to be nilpotent if A^r=O for some integer r≧1.
Let A,B be nilpotent matrices, of the same size ,and assume AB=BA.Show that AB is nilpotent.

と言う問題です。
AもBもnilpotentで同じ大きさだというのだからその大きさをrとすると
(AB)^r=A^rB^r=O・O=O
として不正解だったのですが何処を間違っているのでしょうか?
0527１３２人目の素数さん2008/10/07(火) 14:21:59
>>526
A が羃零の定義における r は行列 A の大きさと言っているわけではない。
その部分をきちんと述べなかったからだろう。
0528１３２人目の素数さん2008/10/07(火) 18:10:22
The dual space を V^* で書くのは複素共役やエルミート共役を
意識しているのだと思うのだけど、最初に使ったのは誰？
それとも双対空間の概念は共役の概念より先に導入されたの？
0529１３２人目の素数さん2008/10/07(火) 21:03:03
>>526
英語の勉強先にした方がいいぞ、おまえ。

1) (∃n)(∃m)(A^n=O and B^m=O)
2) AB=BA (同じ大きさじゃないとこれ言えんでしょ、そもそも・・・)
　↓
(AB)^nm = (A^nm)(B^nm) (∵2) = (O^m)(O^n) = O
　↓
AB: nilpotent

高校生でも解けるぞこれ。
0530１３２人目の素数さん2008/10/08(水) 07:09:34
>527,>529
ご回答ありがとうございます。
すいません。まだよく分かりません。

"same size"とはAもBも同じべき乗でOになるという意味ではないんですね。
AとBとが同じ行数と同じ列数という意味なのですね。
問題文はAは正方行列でAB=BAだと仮定しているので
AとBも同じ行数・列数になると思うのですが…。

それでこの"same size"はべき乗の意味だと解釈してました。
0531１３２人目の素数さん2008/10/08(水) 09:01:00
なんて恥ずかしい間違え方してんだｗ
｢size｣って書いてあるじゃんｗ
0532１３２人目の素数さん2008/10/08(水) 09:03:33
てかこの問題簡単すぎだろ
せめてA+Bにすれだいいのに
0533１３２人目の素数さん2008/10/08(水) 09:52:46
>>530
勝手に解釈して勝手に間違えてりゃあ世話ねえな。
あんたが言ってるのは same order などと言われる。
0534１３２人目の素数さん2008/10/08(水) 11:51:51
>533

どうもありがとうございました。
0535１３２人目の素数さん2008/10/09(木) 10:54:00
LetV be a finite dimensional space over the field K. Let g=<,> be a scalar
product on V. By the quadratic form determined by g, we shall mean the
function
f:V→K such that f(v)=g(v,v)=<v,v>.

と二次形式の説明があります。
fが二次形式とはg:V^2→Kがあるとするとf:V→KをV∋∀x→f(x):=g(x,x)と定義されてる時,
fはgの二次形式であるとか言ったりするのでしょうか?

Let V be a finite dimensional vector space over a feild K. Let f:V→K be a
function,and assume that the fuction g defined by
g(v,w)=f(v+w)-f(v)-f(w) is bilinear. Assume that f(av)=a^2f(v) for all v∈V
and a∈K. show that f is a quadratic form,and determine a bilinear form from
which it comes.Show that this bilinear form is unique.
charK≠2.

と言う問題です。(ちなみにスカラー積の定義は(i) <v,w>=<w,v>, (ii) <u,v+w>=<u,v>=<u,w>,
(iii) <cu,v>=c<u,v> 且つ <u,cv>=c<u,v> (u,v,w∈V,c∈K))

最初の証明は

g(v,v)=f(v+v)-f(v)-f(v)=f(2v)-2f(v)=2^2f(v)-2f(v)=2f(v)となりました。
そこでcharK≠2なので2は逆元1/2を持ち,f(v)=1/2g(v,v)で確かにfは2次形式になってます。
0536１３２人目の素数さん2008/10/09(木) 10:54:35
後半についてはまずg(v,w)を<v,w>と表す事にする。
もしf(v)=<v,v>'なるスカラー積<,>'があったとすると
∀v,w∈Vに対して<v,w>=<v,w>'が成り立つ事を言えばいいのだと思います。

<v,w>=<v,w>'を示すのに使える道具は
スカラー積の定義は(i) <v,w>=<w,v>, (ii) <u,v+w>=<u,v>=<u,w>,
(iii) <cu,v>=c<u,v> 且つ <u,cv>=c<u,v> (u,v,w∈V,c∈K) ((ii),(iii)は双線形))
と<v,v>=<v,v>'(i=1,2,…,n) …① だけですよね。

<v,w>=1/2(<v+w,v+w>-<v,v>-<w,w>)
<v,w>'=1/2(<v+w,v+w>'-<v,v>'-<w,w>')と書ける(∵スラカー積の定義)。

よって①から
<v+w,v+w>=<v+w,v+w>'
<v,v>=<v,v>'
<w,w>=<w,w>'

が成り立っているので<v,w>=<v,w>'が言えた。
これでいいでしょうか?
0537１３２人目の素数さん2008/10/09(木) 21:49:16
>>535-536
だいたい全部 OK．以下こまかいこと．

> fが二次形式とはg:V^2→Kがあるとするとf:V→KをV∋∀x→f(x):=g(x,x)と定義されてる時,
> fはgの二次形式であるとか言ったりするのでしょうか?
いわない．g は一般の V^2 → K ではなく，スカラー積でないとダメ．
（スカラー積であれば，g に関する二次形式などと言う）

証明の前半はOK（g/2 がスカラー積であることには注意）．

後半は，一行目の
> 後半についてはまずg(v,w)を<v,w>と表す事にする。
が g(v,w)/2 のタイプミス．他は OK．
0538１３２人目の素数さん2008/10/14(火) 12:31:24
テンソル積のシンプルな例って何がありますでしょうか?
0539１３２人目の素数さん2008/10/14(火) 12:32:01
>537

ありがとうございました。
0540１３２人目の素数さん2008/10/14(火) 21:20:21
>269
に絡み；【忙中（数秒∃)閑あり　の際　遊び心で】次の中学生向きの　有理化の問を
K=Q[x]/f[x]*Q[x]|
|
Q
なる　(Q上の有限次元のvector空間）　Q上の有限次拡大体　の　視座から
　此処に登場される世界の皆様に　解説を　お願い致します。
------------------------------------------------------
頻出の分母の有理化ですが
http://jp.youtube.com/watch?v=i4F8x_6PHpY
　　　ではなく　　上の体Kの視座から お願い致します。
(イ　易)　　1/(69 + Sqrt[19])
(ロ)　　1/(7 + 5^(1/3) + 3^(1/5) + 2^(1/7))
問題(ロ)　が　　【徒に】【煩雑】な問　と　　とられかねない
＜とられかねない の検索結果 約 38,600,000 件＞　ので、
　　　　　　　　　　　少し簡易化し ;
　　　　s=7 + 2^(1/7) + 3^(1/5)について
(1)f(s)=0となるsの最小多項式f(x)∈Q[x]を求めてください。
(　その際　x = Sqrt[2] + Sqrt[3]は代数的数である.
　　何故ならばx-Sqrt[2]= Sqrt[3]の両辺を二乗すると
　　云々の論法が紹介されていましたのでその論法に倣い、
　　　また　他の手法で最小多項式を求めてください。　）
(2)体　Q[x]/f[x]*Q[x]において,xの逆元（が∃）を求めることにより、
　　　　　1/sの分母の有理化をなさってください。
(3)中学高校の授業で示される手法
http://jp.youtube.com/watch?v=i4F8x_6PHpY
　　でも　1/sの分母の有理化をお願いします。
(ロ)1/(7 + 5^(1/3) + 3^(1/5) + 2^(1/7))もお願いします。


-----------------------------------------------------------------
0541１３２人目の素数さん2008/10/16(木) 10:46:44
Rを環としV,Wを左R加群とする。

T:=span{(x_1+x_2,y)-(x_1,y)-(x_2,y),(x,y_1+y_2)-(x,y_1)-(x,y_2),(rx,y)-r(x,y),(x,,ry)-r(x,y)}
と定義し,

V(×)W:={{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v,w) (mod T)};(v,w)∈V×W}をR上のテンソル積という。

{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v,w) (mod T)}をv(×)wと書き,(v,w)のテンソルという。

定義から
(v_1+v_2)(×)w=v_1(×)w + v_2(×)w
v(×)(w_1+w_2)=v(×)w_1 + v(×)w_2
(αv)(×)w=v(×)(αw) =α(v(×)w)

が成り立つとあったのですが

(v_1+v_2)(×)w∈V(×)Wを採ると,
(v_1+v_2)(×)w={(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_1+v_2,w) (mod T)}と書け、
∀(x,y)∈{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_1+v_2,w) (mod T)}をとると
(x,y)=(t,s)+(v_1+v_2,w) (但し(t,s)∈T) (∵合同の定義)
=(t+v_1+v_2,s+w)から

(t+v_1,s+w)+(t'+v_2,s'+w)の形
({(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_1,w) (mod T)}+{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_2,w) (mod T)}の元)
に持っていけません。

どのように変形すればいいのでしょうか?
0542１３２人目の素数さん2008/10/16(木) 21:34:48
> (但し(t,s)∈T) (∵合同の定義)

ココが既にまちがっとる
0543１３２人目の素数さん2008/10/16(木) 22:19:39
f:R→R'が可換環の準同型のとき
aがRの可逆元ならf(a)も可逆元になりますか？

多分ならないとは思うんですが(´･ω･`)
0544１３２人目の素数さん2008/10/16(木) 22:29:46
f(a)f(a^-1)=f(a*a^-1)=f(1)=1
0545１３２人目の素数さん2008/10/17(金) 08:51:10
> f(a)f(a^-1)=f(a*a^-1)=f(1)=1

f(a)f(a^-1)=f(a*a^-1)(∵環準同型の定義)=f(1)=1(∵環準同型の定義)
ですね。

(x,y)≡(v_1+v_2,w) (mod T)

から合同の定義より
(x,y)-(v_1+v_2,w)∈T
よって(x,y)=(t,s)+(v_1+v_2,w) (但し(t,s)∈T) (∵合同の定義)
と書けないのでしょうか?
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