代数学総合スレッド Part4
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0001１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 09:00:00代数学総合スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/
代数学総合スレッド Part2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/
代数学総合スレッド part3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1116279106/
0436１３２人目の素数さん
2008/08/08(金) 21:27:310437１３２人目の素数さん
2008/08/08(金) 22:08:280438１３２人目の素数さん
2008/08/09(土) 23:54:45環のようにきれいな群論の本無いですか？
0439１３２人目の素数さん
2008/08/11(月) 07:22:31その時点で意味不明だよ。
0440１３２人目の素数さん
2008/08/11(月) 09:30:36「きれい」だと思ってるんでない？
0441１３２人目の素数さん
2008/08/11(月) 21:18:07⇒環と指輪の英訳は同じ
⇒指輪はきれいだから冗談交じりに環はきれいと判断した
つまり、環と指輪の英訳を考えて「環のようにきれい」という表現が出て来たのだろう。
0442１３２人目の素数さん
2008/08/13(水) 03:23:32環については４４０の言う通りだろうけど。
0443１３２人目の素数さん
2008/08/13(水) 18:07:54これって素数みたいに代数的な特性あるの？
ただの暇人の数字遊び？
0444１３２人目の素数さん
2008/08/13(水) 21:24:250445１３２人目の素数さん
2008/08/14(木) 11:30:47「代数的な特性」ってのは具体的に何のこと？
0446１３２人目の素数さん
2008/08/14(木) 11:33:24http://arxiv.org/abs/0803.3435
0447１３２人目の素数さん
2008/08/14(木) 12:29:32これらに慣れていてば余り難しく感じられなくなるんないんじゃないか？
無限群論だと話は別かも知れないが。
0448１３２人目の素数さん
2008/08/14(木) 13:08:22>>447の「慣れていてば」は「慣れていれば」の間違い。
0449１３２人目の素数さん
2008/08/14(木) 22:41:59嫌いってのは分からんでもない。
有限群論に限らず、代数幾何とかの三次〜〜を
百何十何通りに分類した、とかそういうのもこの種の証明だけど。
0450１３２人目の素数さん
2008/08/15(金) 00:50:110451666thVirtue ◆naedFapghQ
2008/08/15(金) 01:15:12無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能
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04521stVirtue ◆.NHnubyYck
2008/08/15(金) 12:11:140453１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 01:56:34可換体kに対して直積環k^{n}は
成分ごとの和、積、スカラー倍によって可換なn次元k-多元環になり、単位元は(1,・・・1)。
このとき任意の(x_{1},・・・,x_{n}) \in k^{n}は逆元(x_{1}^{-1},・・・,x_{n}^{-1}) \in kを持つので単元である。
よってk^{n}も可換体である。
なんか変な感じがします。間違いがあったら指摘して下さい。
0454１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 02:04:250455１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 02:07:000456１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 02:11:40つまり、それ以外の元は全部単元というのだね。
それで、(1,0,0,...,0)の逆元は何になるの?
0457１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 02:14:44k^{n}が可換なn次元k-多元環というのは正しいでしょうか？
0458１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 02:24:04間違いならば反例を出せばよい。
本件では難しいことではない。
0459１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 02:32:32おっしゃる通りです。証明してみました。
k^{n}はn次元k-多元環の条件はすべて満たします。
ただ可換性の証明してみると、
(x_{1},・・・,x_{n})・(y_{1},・・・,y_{n})
= (x_{1}y_{1},・・・,x_{n}y_{n})
= (y_{1}x_{1},・・・,y_{n}x_{n})
= (y_{1},・・・,y_{n}) ・(x_{1},・・・,x_{n})
というように単純なのですが、なにか違和感を感じました。
反例も見つけられません。
可換性は正しいのでしょうか。
0460１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 02:34:360461１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 02:42:54ってのはたまにあるよね。
0462459
2008/08/25(月) 03:03:35ありがとうございます。
体上のベクトル空間と体上の多元環の間で混乱しておりまして、
このようなおかしな質問となってしまいました。
体上の有限次元ベクトル空間は可換な有限次元多元環の構造を常に持つのですね。
0463１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 03:06:43もちません。
0464１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 03:08:05任意のベクトル空間に入れられる自明なリー環構造って知ってる？
0465１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 03:09:49逆じゃないの?
多元環が出てくる文脈だと、畳み込みとか括弧積とかのほうが
そんなわけのわからん積よりは普通に出てくるでしょ。
0466459
2008/08/25(月) 03:11:51たびたびありがとうございます。
体上の数ベクトル空間（=k^{n}）は可換な有限次元多元環の構造を常に持つ、
なら正しいのでしょうか。
0467１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 03:15:39内在構造ではない、と言ってる。
0468１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 03:17:17ただしくありません。
0469459
2008/08/25(月) 03:18:10直積環の文脈で考えているので、この積（各成分ごとの積）について
k^{n}の多元環の構造を考えています。
0470459
2008/08/25(月) 03:20:57体上の有限次元数ベクトル空間k^{n}に各成分ごとの積を定義すれば、
この積によって、k^{n}は可換な有限次元多元環の構造を持つ、
なら正しいということでしょうか。
0471１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 03:22:29そういうこと
0472459
2008/08/25(月) 03:25:16ありがとうございます。こんな時間におつきあい下さいまして感謝します。
まだまだ勉強不足なものでお恥ずかしい限りです。無知をお許し下さい。
0473１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 03:25:32「任意の有限集合は測度空間である」とか
言ってるのと変わらんわけで。
0474ご冥福をお祈りします
2008/08/29(金) 22:37:19http://www.asahi.com/obituaries/update/0828/OSK200808280076.html
永田 雅宜さん（ながた・まさよし＝京都大名誉教授・代数学）が２７日、胆管がんで死去、８１歳。
葬儀は親族のみで行う。喪主は妻千種（ちぐさ）さん。後日、「お別れの会」を開く予定。
0475(-人-)ﾅﾑﾅﾑ
2008/08/30(土) 03:08:010476１３２人目の素数さん
2008/09/11(木) 18:59:34亡くなった、永田先生の業績と一点コンパクト化がどのように関係あるのか
説明できる人居ませんか？上の論文にその事が書いてあるらしいのだけど
論文の説明できる人居ませんか？
大好き代数幾何のスレにも投稿しましたが、すみません。よろしくお願いします。
0477１３２人目の素数さん
2008/09/11(木) 19:00:520478１３２人目の素数さん
2008/09/11(木) 19:04:050479１３２人目の素数さん
2008/09/11(木) 20:45:23よろしくお願いします。
0480１３２人目の素数さん
2008/09/13(土) 14:56:130481１３２人目の素数さん
2008/09/13(土) 15:48:34偉い学者でも２ｃｈ見る人は居ると思ったのですが・・・。
それとも、マルチしたから顰蹙買って答えてもらえないんでしょうか？
0482１３２人目の素数さん
2008/09/13(土) 16:48:14匿名で掲示板に書き込めば魔法の箱のように答えが出てくると思ってる奴をみると
反吐が出るなｗ
なんでてめーの代わりに論文読んでやらないとならんのだよ。
0483１３２人目の素数さん
2008/09/13(土) 18:40:39永田先生が亡くなったし、永田先生の業績をみんなが知ることは
良いことだと思うし。
まあ、反吐がでるとか思ってるかも知れないけど、そう言わずに
論文読む力があるなら教えてください。お願いします。m(_ _)m
0484１３２人目の素数さん
2008/09/13(土) 18:50:45基礎学力と英語の力の不足から自分で読めないです。申し訳ない。
もし、読めるんでしたらよろしくお願いします。
他スレで上の論文に永田先生の業績と一点コンパクト化の関係
が書いてあると聞きました。目的の論文が見つかって感激したのですが
自分ではやはり力不足で読めません。誰か素人にも分かるように
解説していただける方がいらっしゃればありがたいです。
0485１３２人目の素数さん
2008/09/13(土) 18:51:24「情報はそう簡単には手に入らない」
「食い下がれば教えて貰えるような ものでもない」
ということである。
0486１３２人目の素数さん
2008/09/13(土) 19:00:01必死になって隠してるやつがいるんだよなｗ
0487１３２人目の素数さん
2008/09/13(土) 19:48:390488１３２人目の素数さん
2008/09/14(日) 06:15:270489１３２人目の素数さん
2008/09/14(日) 13:06:420490miwa
2008/09/15(月) 10:48:30行列A,Bがともに同じ大きさのべき乗行列でAB=BAが成り立っている時,
ABとA+Bもべき乗行列になる事を示せ。
[解]
AB=BAより
(AB)^r=A^rB^r=O・O=OでABがべき乗行列である事は直ぐ示せたのですが
(A+B)^r=Σ[k=0..r](r-k)CkA^(r-k)B^r
から先に進めません。どうすれば=0にたどり着けますでしょうか?
0491１３２人目の素数さん
2008/09/15(月) 11:19:57便所 便所 便所 便所 便所 便所 便所 便所 便所 便所 便所
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0492１３２人目の素数さん
2008/09/15(月) 11:25:240493菅_理人@kmath1107BBS ◆.ffFfff1uU
2008/09/15(月) 12:02:05r乗ではなく2r乗したらいいと思う。
0494miwa
2008/09/15(月) 12:52:43ありがとうございます。すんなり示せました。
0495１３２人目の素数さん
2008/09/15(月) 16:35:55ゼミでガロア理論をやってるのですが、正直今までテスト前だけ勉強やって
４年まで来たのでほとんど数学を理解してません。
それで石村園子の｢すぐわかる代数｣をやったらかなり代数について理解できた気がします。（というか集合論について）
ただ、これは入門中の入門だと思うのでその後の代数について触れてある本を読みたいです。
｢すぐわかる代数｣は準同型定理までしか書いてないのでとりあえずイデアル、代数拡大辺りをやりたいのですが、ちょうどいい本ってありますか？
この本みたいに読んでかるく演習を解けば理解できる本が理想です。
0496１３２人目の素数さん
2008/09/15(月) 16:39:22演習問題も馬鹿みたいに多いし高校生以上の知識あるならいきなり読める。
0497１３２人目の素数さん
2008/09/15(月) 16:41:19どうもです。
洋書ですか…！英語で書いてあるんですか？
英語ちょっと読めないので、できたら和書がいいんですが…。
0498１３２人目の素数さん
2008/09/15(月) 17:25:29２ちゃんって最低
0499KingMind ◆KWqQaULLTg
2008/09/15(月) 17:55:000500１３２人目の素数さん
2008/09/17(水) 09:40:37あえて洋書を薦める２ちゃんねらーってマジで最低だな
0501１３２人目の素数さん
2008/09/17(水) 14:26:270502１３２人目の素数さん
2008/09/17(水) 18:55:10ただ代数入門みたいな本はバックグラウンドの知識自体は
ほとんど同じなので、あとは如何に気合出して読むか、
という問題が一番大きいと思うなあ。
まあ今の「数学的素養」で服部昭の「現代代数学」みたいなの読んだら
いくら頑張っても第一章終わる前に撃沈しそう、とかそういうのはあるが。
松坂の代数系入門とか、「群・環・体入門」とか、
あとは、多少難しくなるけど東京大学出版会の「大学数学の入門」シリーズとかかなあ。
0503１３２人目の素数さん
2008/09/25(木) 06:13:09カカンカンロン
読みなさい
0504１３２人目の素数さん
2008/09/25(木) 06:16:19携帯からでも見れるようにしてくれたら
わしが答えてやる
PDFファイルはちと難儀じゃ
0505１３２人目の素数さん
2008/09/29(月) 08:45:13と言う問題で「v∈Vの各元はλ_v∈V^**にriseを与える」
とはどういう意味なんでしょうか?
riseとは??
0506１３２人目の素数さん
2008/09/29(月) 11:31:320507１３２人目の素数さん
2008/09/30(火) 13:49:00ありがとうございます。
0508１３２人目の素数さん
2008/10/03(金) 20:18:090509１３２人目の素数さん
2008/10/03(金) 20:45:23ほとんどの概念は線形代数がベースだもの。
0510１３２人目の素数さん
2008/10/03(金) 22:55:530511１３２人目の素数さん
2008/10/04(土) 00:44:58線型代数はかなり後の章にならないと出て来ない。
これで代数学を勉強した人は>>508の言うような順番で勉強したはず。
0512１３２人目の素数さん
2008/10/05(日) 13:28:15VをR上の有限次元スカラー積空間とし{v_1,v_2,…,v_n}をVの直交空間とする。
その時,r={v∈{v_1,v_2,…,v_n};<v,v>>0}なる正整数rが存在する。
という解釈で大丈夫でしょうか?
0513１３２人目の素数さん
2008/10/05(日) 13:33:10代数ってxyとか簡単なことじゃなかったのな
0514１３２人目の素数さん
2008/10/05(日) 13:37:42訂正
r=#{v∈{v_1,v_2,…,v_n};<v,v>>0}
です。
0515１３２人目の素数さん
2008/10/05(日) 15:05:18p160の下から二行目のsgnA=(p,q)の部分で、この場合のsgnはどういう意味なのでしょうか？？
行列式の章で、置換の符号という意味でのsgnは知っているのですが、この場合はある行列Aに対してsgnAと書かれています。
なので、この場合のsgnの意味が分からないのですが、どなたか教えてくださいm(__)m
0516１３２人目の素数さん
2008/10/05(日) 15:12:27記号が常に一意だとかおもってたら
函数 f とか迂闊に書けないジャン。
0517１３２人目の素数さん
2008/10/05(日) 15:39:320518１３２人目の素数さん
2008/10/05(日) 15:50:310519１３２人目の素数さん
2008/10/05(日) 15:52:060520515
2008/10/05(日) 15:55:02ご返答ありがとうございます。
確かにそのようですね。sgnをそう捉えると後の部分との整合性がとれているように思います。
>>517
すみません(>_<)
みんなこの本を持っているだろうから、ある程度質問の要点を記せば分かってくれるだろうと勝手に思い込んでいたので、今後気をつけます。
0521１３２人目の素数さん
2008/10/05(日) 18:59:06意味不明
> {v_1,v_2,…,v_n}をVの直交空間
左辺は n 個の元からなる集合だよね。これが「直交空間」であるとはどういうこと？
> r=#{v∈{v_1,v_2,…,v_n};<v,v>>0}
内積は <v,v> > 0 (v ≠ 0) を満たすので、これだと r = n となるが？
0522１３２人目の素数さん
2008/10/05(日) 20:30:050523１３２人目の素数さん
2008/10/06(月) 02:00:57ありがとうございます。
>> {v_1,v_2,…,v_n}をVの直交空間
> 左辺は n 個の元からなる集合だよね。これが「直交空間」であるとはどういうこと？
直交基底といいたかったのでした。
> 複素上の間違いだろう。
いえ、確認しましたがやはりR上になってます。
> r=#{v∈{v_1,v_2,…,v_n};<v,v>>0}
> 内積は <v,v> > 0 (v ≠ 0) を満たすので、これだと r = n となるが？
内積ではなくスカラー積
(ちなみにスカラー積の定義は(i) <v,w>=<w,v>, (ii) <u,v+w>=<u,v>=<u,w>,
(iii) <cu,v>=c<u,v> 且つ <u,cv>=c<u,v> (u,v,w∈V,c∈F) の3つ)
なので<v,v> > 0 (v ≠ 0)とは必ずしも言えないと思うのですが…。
0524１３２人目の素数さん
2008/10/06(月) 04:34:35うん、最初にWell-orderingとかやってRingいってVector Spaceでそのあとmoduleって感じの本でやってる。
GroupとFieldはその間にちょろちょろ。
0525１３２人目の素数さん
2008/10/06(月) 05:38:45スカラー積と内積は同じ意味で使うことのほうが多いように思う．
その「スカラー積」は，双線型形式とか退化内積と言うことが多い．
で，>>512 の記述は雰囲気は正しいが，ちょっと間違っている．
(1) は間違いで，(2),(3) は本来の定理よりも弱い部分：
(1) 数 r が基底の取り方に依存する書き方になっているが，
これだと当たり前の主張．ポイントは r が基底の取り方に依らないこと．
(2) 基底が直行している必要はない．
(3) <v, v> < 0 なるものの数に対しても同様の主張が成り立つ．
0526１３２人目の素数さん
2008/10/07(火) 13:24:20Let A,B be nilpotent matrices, of the same size ,and assume AB=BA.Show that AB is nilpotent.
と言う問題です。
AもBもnilpotentで同じ大きさだというのだからその大きさをrとすると
(AB)^r=A^rB^r=O・O=O
として不正解だったのですが何処を間違っているのでしょうか?
0527１３２人目の素数さん
2008/10/07(火) 14:21:59A が羃零の定義における r は行列 A の大きさと言っているわけではない。
その部分をきちんと述べなかったからだろう。
0528１３２人目の素数さん
2008/10/07(火) 18:10:22意識しているのだと思うのだけど、最初に使ったのは誰？
それとも双対空間の概念は共役の概念より先に導入されたの？
0529１３２人目の素数さん
2008/10/07(火) 21:03:03英語の勉強先にした方がいいぞ、おまえ。
1) (∃n)(∃m)(A^n=O and B^m=O)
2) AB=BA (同じ大きさじゃないとこれ言えんでしょ、そもそも・・・)
↓
(AB)^nm = (A^nm)(B^nm) (∵2) = (O^m)(O^n) = O
↓
AB: nilpotent
高校生でも解けるぞこれ。
0530１３２人目の素数さん
2008/10/08(水) 07:09:34ご回答ありがとうございます。
すいません。まだよく分かりません。
"same size"とはAもBも同じべき乗でOになるという意味ではないんですね。
AとBとが同じ行数と同じ列数という意味なのですね。
問題文はAは正方行列でAB=BAだと仮定しているので
AとBも同じ行数・列数になると思うのですが…。
それでこの"same size"はべき乗の意味だと解釈してました。
0531１３２人目の素数さん
2008/10/08(水) 09:01:00｢size｣って書いてあるじゃんｗ
0532１３２人目の素数さん
2008/10/08(水) 09:03:33せめてA+Bにすれだいいのに
0533１３２人目の素数さん
2008/10/08(水) 09:52:46勝手に解釈して勝手に間違えてりゃあ世話ねえな。
あんたが言ってるのは same order などと言われる。
0534１３２人目の素数さん
2008/10/08(水) 11:51:51どうもありがとうございました。
0535１３２人目の素数さん
2008/10/09(木) 10:54:00product on V. By the quadratic form determined by g, we shall mean the
function
f:V→K such that f(v)=g(v,v)=<v,v>.
と二次形式の説明があります。
fが二次形式とはg:V^2→Kがあるとするとf:V→KをV∋∀x→f(x):=g(x,x)と定義されてる時,
fはgの二次形式であるとか言ったりするのでしょうか?
Let V be a finite dimensional vector space over a feild K. Let f:V→K be a
function,and assume that the fuction g defined by
g(v,w)=f(v+w)-f(v)-f(w) is bilinear. Assume that f(av)=a^2f(v) for all v∈V
and a∈K. show that f is a quadratic form,and determine a bilinear form from
which it comes.Show that this bilinear form is unique.
charK≠2.
と言う問題です。(ちなみにスカラー積の定義は(i) <v,w>=<w,v>, (ii) <u,v+w>=<u,v>=<u,w>,
(iii) <cu,v>=c<u,v> 且つ <u,cv>=c<u,v> (u,v,w∈V,c∈K))
最初の証明は
g(v,v)=f(v+v)-f(v)-f(v)=f(2v)-2f(v)=2^2f(v)-2f(v)=2f(v)となりました。
そこでcharK≠2なので2は逆元1/2を持ち,f(v)=1/2g(v,v)で確かにfは2次形式になってます。
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