代数学総合スレッド Part4
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0001１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 09:00:00代数学総合スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/
代数学総合スレッド Part2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/
代数学総合スレッド part3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1116279106/
0379１３２人目の素数さん
2008/05/22(木) 23:40:08>>356 が既にその解答を与えている
0380１３２人目の素数さん
2008/05/22(木) 23:43:53f(a,x) を a が x に左から作用しているとみたほうが良いんじゃないかな
0381１３２人目の素数さん
2008/05/22(木) 23:44:21ゲームは人間が作ったルールで遊ぶ。
数学ってのは数学的世界の探求なんだよ。
数学的世界ってのは大昔から不変なわけ。
人間がどうこう出来るものじゃない。
0382１３２人目の素数さん
2008/05/22(木) 23:52:56実際、Lie代数とかは満たしてないでしょ。
ただそれ以外にあまり面白い例が知られていないってだけだと思う。
これから千年後の数学はどうなっているか分からないのだから
あまり人為的な理由をこじつけて「納得」しようとしちゃダメだと思う。
0383１３２人目の素数さん
2008/05/23(金) 00:05:14世の中お前のような単純でおめでたいものだけでできあがって居ないということだ。
0384１３２人目の素数さん
2008/05/23(金) 07:22:25作用の集合なんだよ。圏論で言うと射の集合だ。
整数環もｎ倍するという作用の集合なわけ。
だから>>368が可換性のほうが基本的に思えるというのは勘違い。
むしろ非可換が普通。
0385１３２人目の素数さん
2008/05/23(金) 19:13:27384さんがまとめてくださって、８０％くらいまで
すっきりしました。
確かに歴史的に考えても、群や環は、決して整数や実数の
加法、乗法を一般化して生まれたものではなく、（どの時点を
もって「生まれた」とするかは議論があるでしょうが）
ガロアによる根の置換という「作用」の研究から生まれた
わけですもんね。
ということは、むしろ、整数や実数の加法や乗法が
結合法則を満たすことは、大げさに言えば「たまたま」「まぐれ」
という位に考えた方がいいのでしょうか。
0386１３２人目の素数さん
2008/05/23(金) 19:41:090387１３２人目の素数さん
2008/05/23(金) 22:08:00I を有限閉区間 [a, b] とする。
I の二つの分割 Δ = (x_i) と Δ' = (y_i) に対して
Δ の各分点 x_i は Δ' の分点になているとき Δ' は Δ の細分と言い、
Δ ≦ Δ' と書く。
関係 ≦ は明らかに順序関係である。
Δ_1 と Δ_2 を I の二つの分割とする。
Δ_1 と Δ_2 の分点の合併から重複するものを除いたものを Δ_3 とする。
明らかに Δ_1 ≦ Δ_3, Δ_2 ≦ Δ_3 である。
従って、I の分割全体は上向きの有向集合(過去スレ008の140)である。
0388１３２人目の素数さん
2008/05/23(金) 22:50:350389１３２人目の素数さん
2008/05/23(金) 23:10:550390１３２人目の素数さん
2008/05/23(金) 23:31:310391390
2008/05/23(金) 23:35:55あのスレでリーマン積分が出てきてるとは思わなんだ。
0392１３２人目の素数さん
2008/05/24(土) 00:57:25きっと数学的には、整数や実数が結合則を満たすのは
「たまたま」でも「まぐれ」でもなく、ほぼ定義。
君が考えるべきは、人間の数に関する直感が
抽象的な整数や実数と対応していることじゃないかな。
0393１３２人目の素数さん
2008/06/04(水) 07:03:08発見した
今から論文にまとめる
楽しみにしとけ
0394１３２人目の素数さん
2008/06/10(火) 00:43:52そもそも、そのような環は存在可能でしょうか？
0395１３２人目の素数さん
2008/06/10(火) 01:04:25四元数を知らんのかたわけ者。
0396１３２人目の素数さん
2008/06/10(火) 01:21:54すみません。超初心者です。勉強します。
0397１３２人目の素数さん
2008/07/04(金) 23:03:000398１３２人目の素数さん
2008/07/05(土) 12:36:39集合･位相から群論に進むのにいい教科書ありませんか
「現代数学概説Ⅰ」を読んでるのですが
分かりにくくて挫折しそうですorz
0399１３２人目の素数さん
2008/07/05(土) 13:12:31ポントリャーギン「連続群論」
0400１３２人目の素数さん
2008/07/05(土) 14:15:350401１３２人目の素数さん
2008/07/05(土) 14:22:310402１３２人目の素数さん
2008/07/05(土) 15:01:510403１３２人目の素数さん
2008/07/05(土) 15:07:10純粋な数学好きにはあまり向いてないという印象
Langの方は読んだことないからわからんが。
0404１３２人目の素数さん
2008/07/05(土) 16:33:02圏論を意識して書いてる。
アメリカだから大学院とかそういうことじゃなくて、
実際にかなりレベルが高い。
学部生がゆっくりしっかり勉強するためのArtinと比較してもしかたない。
＞具体例あげすぎ、ちゃんと証明してない定理多杉。
代数学とは何か、とかそこまで読み物じゃないだろうけどね。
0405１３２人目の素数さん
2008/07/15(火) 04:53:490406１３２人目の素数さん
2008/07/16(水) 15:59:450407１３２人目の素数さん
2008/07/16(水) 19:22:08整域は商体に埋め込める
0408405
2008/07/17(木) 01:01:53ttp://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/humanind/jinmei_m.htm#Mal'tsev
に
＞1937年に環の体への埋め込み可能性についての論文を書く．
＞元は，ファン・デル・ヴェルデンの
＞「体に埋めこむことのできない，零因子を持たない環があるか」という問題だった．
という記述があるのですが、これは、商体を考えれば良いのだから無い、
という結論になるのですか？もう少し複雑な問題だと思っていました。
0409１３２人目の素数さん
2008/07/17(木) 01:17:36易しいことを難しく質問するのがw
0410１３２人目の素数さん
2008/07/17(木) 02:10:09ああ，非可換でいいのか．だったら簡単に作れる．
S を {a, b, c, d, x, y, u, v} が生成する(単位的な)半群で，
各元が a x = b y, c x = d y, a u = b v なる条件を満たすものとし，
R = k S (k は可換体) として得られる環 R が例になる．
（S上では c u ≠ d v だが，埋め込めたとすると c u = d v になる）
0411１３２人目の素数さん
2008/07/17(木) 13:58:50とか外国語の複数形を意識して「～たち」とか使うやつがいるけど、
気持ち悪いんですが。
それをかっこいいと思っているやつもいるみたいで。
0412１３２人目の素数さん
2008/07/17(木) 14:41:19酒井とかいうジジイ数学者がそれだ
0413１３２人目の素数さん
2008/07/17(木) 19:03:14俺も使うよ。
正直なんか擬人化っぽくてカッコ悪いとは思うんだが
複数と単数の違いは、日常生活ならいざ知らず、
数学では結構効いて来るので。
その点のみに関しては日本語は英語より不利だと思う。
擬人化っつっても
∧＿∧ ┌────────────
◯（ ´∀｀ ）◯ ＜ 743ﾀﾝは132人目の素数ちゃん！
＼ ／ └────────────
_／ ＿＿ ＼_
（＿／ ＼＿）
ｌｌｌ
とかは流石に言いませんが。
0414１３２人目の素数さん
2008/07/17(木) 20:21:56くどい書き方になるのとどっちがいいか
昔の本ではあまり見ないかな
0415１３２人目の素数さん
2008/07/17(木) 20:51:42を書いているのだが。「素数の皆さん」とか「特異点たち」が
必要不可欠な表現とは思えん。
0416１３２人目の素数さん
2008/07/17(木) 21:07:30代数学に限った話ではないし、そろそろスレ違いだな。
俺もかなり問題あると思うが
昨今の学生の読解力を考えると案外必要不可欠なのかもしれん
0417１３２人目の素数さん
2008/07/17(木) 21:24:54酒井って、ディリクレ＆デデキントの整数論の教科書を訳した人？
あんまり訳の完成度が高くなかったような。
本自体は分かりやすい高木の本よりさらに分かりやすいけど。
0418１３２人目の素数さん
2008/07/17(木) 21:34:00そうです。日本語に冠詞を「添加」しようなんて提案も
どこかでしていましたっけ。
0419１３２人目の素数さん
2008/07/17(木) 21:39:070420１３２人目の素数さん
2008/07/24(木) 06:31:01逆に英語では point(s) なんて書かなきゃならない場合もある。
要するに日本語で「たち」とか冠詞を使いたいと思うのは西洋かぶれ。
0421１３２人目の素数さん
2008/07/25(金) 16:22:290422１３２人目の素数さん
2008/08/05(火) 19:32:46S[n,m]={x∈S_n | x^m=1 x^i≠1(i=1,...,m-1)} として
S[n,m]を x～y ⇔ ∃g∈S_n xg=gy という同値類で割った商集合をA[n,m]としたとき
A[n,m]の元の個数って一般に幾つになるんでしょうか
0423１３２人目の素数さん
2008/08/07(木) 12:55:38A[n,m]は、
n = a_1 + a_2 + ... + a_r、a_iは正の整数、a_1≦a_2≦ ... ≦a_r
a_1, a_2, ... a_rの最小公倍数がm
を満たす有限数列の個数、ということになるな。
個別のn,mについて組み合わせ論的に計算することは可能だろうけど、
一般的に式で表すのは難しいんじゃね？
0424１３２人目の素数さん
2008/08/07(木) 13:03:10K[S] = K(S) ⇒ S の元はすべてK上代数的
っていう命題を簡単に（ネーターの正規化定理とか使わずに）
示すことってできる?
0425１３２人目の素数さん
2008/08/07(木) 16:55:25式で表すのが難しくても、423のようには表せるのですね。ありがとうございました
0426１３２人目の素数さん
2008/08/07(木) 19:47:27冒頭のはしがきにはこの本の内容は基礎的なものであって専門的なものではないというようなことが書いてありましたので1回か2回生くらいかと思うのですが
0427１３２人目の素数さん
2008/08/07(木) 20:19:442年生くらい。
0428１３２人目の素数さん
2008/08/07(木) 21:36:15ありがとうございます
がんばります
0429１３２人目の素数さん
2008/08/08(金) 01:00:23松村「可換環論」定理5.2
0430１３２人目の素数さん
2008/08/08(金) 19:18:13サンクス！ 松村の本で証明をチェックしました。
それなりに長い証明だけど、正規化定理の証明よりはだいぶ簡単ですね。
ちなみに、今読んでる岩波の堀田「環と体2」で>>424の命題の証明が
なんか変で（たった3行しかなく、たぶん証明になってない）、正しい簡単な
証明を探してました。
ありがとうございました。
0431１３２人目の素数さん
2008/08/08(金) 19:21:25命題1.11（p.9）の
(ii) K[a_1, ..., a_n] = K(a_1, ..., a_n) ⇒ (iii) [K(a_1, ..., a_n):K] < ∞
の証明が変。帰納法の仮定は「n-1 まで (i)(ii)(iii)が同値であること」のはず
なのに、「a_1, ..., a_(n-1) が代数的」を仮定してしまっているようにみえる。
なお、実は別分冊「環と体1」のほうの補題4.10（p.71）で、これと実質的に
同等な命題が（ネーターの正規化定理を使って）示されています。
0432１３２人目の素数さん
2008/08/08(金) 19:40:13定理 2.25（p.50）（1の原始n乗根を含む体K上の巡回拡大はK(a^(1/n)]）
の「(ii)⇒(i)」の証明で、
「σの位置はnゆえ、これは位数nの巡回群であり..」
というところにギャップがあると思われます。
他の本のように、Lagrangeの分解式かHilbertの定理90を使わないとこれは言えないはず。
0433１３２人目の素数さん
2008/08/08(金) 19:44:470434１３２人目の素数さん
2008/08/08(金) 19:56:170435１３２人目の素数さん
2008/08/08(金) 20:35:140436１３２人目の素数さん
2008/08/08(金) 21:27:310437１３２人目の素数さん
2008/08/08(金) 22:08:280438１３２人目の素数さん
2008/08/09(土) 23:54:45環のようにきれいな群論の本無いですか？
0439１３２人目の素数さん
2008/08/11(月) 07:22:31その時点で意味不明だよ。
0440１３２人目の素数さん
2008/08/11(月) 09:30:36「きれい」だと思ってるんでない？
0441１３２人目の素数さん
2008/08/11(月) 21:18:07⇒環と指輪の英訳は同じ
⇒指輪はきれいだから冗談交じりに環はきれいと判断した
つまり、環と指輪の英訳を考えて「環のようにきれい」という表現が出て来たのだろう。
0442１３２人目の素数さん
2008/08/13(水) 03:23:32環については４４０の言う通りだろうけど。
0443１３２人目の素数さん
2008/08/13(水) 18:07:54これって素数みたいに代数的な特性あるの？
ただの暇人の数字遊び？
0444１３２人目の素数さん
2008/08/13(水) 21:24:250445１３２人目の素数さん
2008/08/14(木) 11:30:47「代数的な特性」ってのは具体的に何のこと？
0446１３２人目の素数さん
2008/08/14(木) 11:33:24http://arxiv.org/abs/0803.3435
0447１３２人目の素数さん
2008/08/14(木) 12:29:32これらに慣れていてば余り難しく感じられなくなるんないんじゃないか？
無限群論だと話は別かも知れないが。
0448１３２人目の素数さん
2008/08/14(木) 13:08:22>>447の「慣れていてば」は「慣れていれば」の間違い。
0449１３２人目の素数さん
2008/08/14(木) 22:41:59嫌いってのは分からんでもない。
有限群論に限らず、代数幾何とかの三次～～を
百何十何通りに分類した、とかそういうのもこの種の証明だけど。
0450１３２人目の素数さん
2008/08/15(金) 00:50:110451666thVirtue ◆naedFapghQ
2008/08/15(金) 01:15:12無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能無知無能
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04521stVirtue ◆.NHnubyYck
2008/08/15(金) 12:11:140453１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 01:56:34可換体kに対して直積環k^{n}は
成分ごとの和、積、スカラー倍によって可換なn次元k-多元環になり、単位元は(1,・・・1)。
このとき任意の(x_{1},・・・,x_{n}) \in k^{n}は逆元(x_{1}^{-1},・・・,x_{n}^{-1}) \in kを持つので単元である。
よってk^{n}も可換体である。
なんか変な感じがします。間違いがあったら指摘して下さい。
0454１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 02:04:250455１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 02:07:000456１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 02:11:40つまり、それ以外の元は全部単元というのだね。
それで、(1,0,0,...,0)の逆元は何になるの?
0457１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 02:14:44k^{n}が可換なn次元k-多元環というのは正しいでしょうか？
0458１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 02:24:04間違いならば反例を出せばよい。
本件では難しいことではない。
0459１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 02:32:32おっしゃる通りです。証明してみました。
k^{n}はn次元k-多元環の条件はすべて満たします。
ただ可換性の証明してみると、
(x_{1},・・・,x_{n})・(y_{1},・・・,y_{n})
= (x_{1}y_{1},・・・,x_{n}y_{n})
= (y_{1}x_{1},・・・,y_{n}x_{n})
= (y_{1},・・・,y_{n}) ・(x_{1},・・・,x_{n})
というように単純なのですが、なにか違和感を感じました。
反例も見つけられません。
可換性は正しいのでしょうか。
0460１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 02:34:360461１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 02:42:54ってのはたまにあるよね。
0462459
2008/08/25(月) 03:03:35ありがとうございます。
体上のベクトル空間と体上の多元環の間で混乱しておりまして、
このようなおかしな質問となってしまいました。
体上の有限次元ベクトル空間は可換な有限次元多元環の構造を常に持つのですね。
0463１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 03:06:43もちません。
0464１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 03:08:05任意のベクトル空間に入れられる自明なリー環構造って知ってる？
0465１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 03:09:49逆じゃないの?
多元環が出てくる文脈だと、畳み込みとか括弧積とかのほうが
そんなわけのわからん積よりは普通に出てくるでしょ。
0466459
2008/08/25(月) 03:11:51たびたびありがとうございます。
体上の数ベクトル空間（=k^{n}）は可換な有限次元多元環の構造を常に持つ、
なら正しいのでしょうか。
0467１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 03:15:39内在構造ではない、と言ってる。
0468１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 03:17:17ただしくありません。
0469459
2008/08/25(月) 03:18:10直積環の文脈で考えているので、この積（各成分ごとの積）について
k^{n}の多元環の構造を考えています。
0470459
2008/08/25(月) 03:20:57体上の有限次元数ベクトル空間k^{n}に各成分ごとの積を定義すれば、
この積によって、k^{n}は可換な有限次元多元環の構造を持つ、
なら正しいということでしょうか。
0471１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 03:22:29そういうこと
0472459
2008/08/25(月) 03:25:16ありがとうございます。こんな時間におつきあい下さいまして感謝します。
まだまだ勉強不足なものでお恥ずかしい限りです。無知をお許し下さい。
0473１３２人目の素数さん
2008/08/25(月) 03:25:32「任意の有限集合は測度空間である」とか
言ってるのと変わらんわけで。
0474ご冥福をお祈りします
2008/08/29(金) 22:37:19http://www.asahi.com/obituaries/update/0828/OSK200808280076.html
永田 雅宜さん（ながた・まさよし＝京都大名誉教授・代数学）が２７日、胆管がんで死去、８１歳。
葬儀は親族のみで行う。喪主は妻千種（ちぐさ）さん。後日、「お別れの会」を開く予定。
0475(-人-)ﾅﾑﾅﾑ
2008/08/30(土) 03:08:010476１３２人目の素数さん
2008/09/11(木) 18:59:34亡くなった、永田先生の業績と一点コンパクト化がどのように関係あるのか
説明できる人居ませんか？上の論文にその事が書いてあるらしいのだけど
論文の説明できる人居ませんか？
大好き代数幾何のスレにも投稿しましたが、すみません。よろしくお願いします。
0477１３２人目の素数さん
2008/09/11(木) 19:00:520478１３２人目の素数さん
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