代数学総合スレッド Part4
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0001１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 09:00:00代数学総合スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/
代数学総合スレッド Part2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/
代数学総合スレッド part3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1116279106/
0333１３２人目の素数さん
2008/03/17(月) 00:16:56んー、フィーリングの話じゃないんですけど、まあCohnにしますわ。
0334295
2008/03/17(月) 07:46:03このどこがわからないのかがわからない。
群っていうのは最初は置換群だと思っていればいい。
抽象的な定義から入るからわからないのかもしれんな。
0335１３２人目の素数さん
2008/03/21(金) 02:42:480336１３２人目の素数さん
2008/03/21(金) 09:53:37生成元の個数の最小値を評価したいのですが
どうすればよいのでしょう？
0337１３２人目の素数さん
2008/03/22(土) 14:43:57Bruhat-Tits buildings について勉強すればいいよ。
0338１３２人目の素数さん
2008/03/26(水) 08:15:32日本語の本でよいものはありますか
0339１３２人目の素数さん
2008/03/27(木) 22:13:20あったら俺が欲しい。
とりあえずブルバキの『リー群とリー環3』。
0340１３２人目の素数さん
2008/03/28(金) 02:55:15確か、鈴木道夫の群論上に Bruhat-Tits buildings の基になる組合せ論的なことが書かれている。
だから、これを読めば良いんじゃないか？
0341１３２人目の素数さん
2008/03/28(金) 22:57:350342１３２人目の素数さん
2008/04/05(土) 20:43:44環Rに対し、R 以外のイデアル全体の集合は、包含関係による順序が入るため、ツォルンの補題より、任意のイデアルはある極大イデアルに含まれる。
とwikipediaにあるんですが、ツォルンの補題をどう使っているのかわかりません。
一体どの集合が帰納的順序集合なんでしょうか？
また、任意のイデアルを取ったときに、そこからイデアルの無限増加列が取れればこの議論はまずいのでは、とも思ってしまうのですが。
0343１３２人目の素数さん
2008/04/05(土) 21:11:50自然数の集合に無限大を追加した順序集合は
無限増大列が存在してかつ極大元が存在するだろ。
0344１３２人目の素数さん
2008/04/05(土) 21:11:51順序が定まったらどの集合が鎖なのかは定まる。
イデアルの増加列に対してはその全体の合併集合を取れば良い。
無限か有限かはあまり関係無い。
0345342
2008/04/05(土) 22:15:32まだわからないところがあるので重ねて質問します。
任意のイデアルを取り、“それを含むイデアル”の族Aが帰納的順序集合であるという流れだと思いますが、
そのためにはAの中の全順序な部分集合が上界をもたなければならず、
そこで無限大や合併集合を考えるとAに含まれない上界になってしまって帰納的順序集合の定義からはずれることになりませんか？
0346１３２人目の素数さん
2008/04/05(土) 22:23:25合併集合はAに属すると思うが。
0347１３２人目の素数さん
2008/04/05(土) 22:50:43回答してくださった方々、ありがとうございました。
0348１３２人目の素数さん
2008/04/06(日) 06:46:510349１３２人目の素数さん
2008/04/07(月) 18:05:340350１３２人目の素数さん
2008/04/26(土) 00:19:22ガロア体の知識を増やしたいんですが、ちょうどいいやつってありませんか？
群環体の基本事項は一通り勉強したことはあるんですが
0351１３２人目の素数さん
2008/04/26(土) 00:20:200352１３２人目の素数さん
2008/04/28(月) 23:19:41結構癖が強いぞ。いやになったらdummit-footeもよろしくな
0353１３２人目の素数さん
2008/04/28(月) 23:34:30Zariski-Samuelの一巻とかも代数学の教科書として意外と良いらしい。
これ二巻まで読んだら松村の可換環論に進めるかな？
Atiyah-Macdonald先に読むべきなんだろうか
0354１３２人目の素数さん
2008/04/29(火) 12:55:530355１３２人目の素数さん
2008/05/13(火) 02:39:42例えば、可換であるためには主対角線に関して対称になっているような
よろしくお願いします
0356１３２人目の素数さん
2008/05/13(火) 03:01:02見やすい条件は、特に知られていない。
言い換えると、ある表があたえられたとき、それが群表であるか
（特に、結合率を満たすか）、をチェックするのは、本質的には
全部の３つ組について確かめるくらいしか知られていない。
0357１３２人目の素数さん
2008/05/13(火) 03:02:05ありがとうございます
0358１３２人目の素数さん
2008/05/14(水) 23:08:30ある命題の反例を作り出すことに躍起になったことがあった。
その時に最も厄介だったのが、結合律を満たすように万障繰り合わせる
作業だったということだけは鮮明に覚えている。
0359１３２人目の素数さん
2008/05/18(日) 09:29:580360１３２人目の素数さん
2008/05/21(水) 23:16:33例えばKを体として、Rを３次全行列環M3(K)とします。このとき３次正方行列M＝
K K 0
K K 0
K K 0
は右R加群だが、３行２列行列N＝
K K
K K
K K
は右R加群ではない。これは正しいでしょうか？
MとNはK加群（６次元Kベクトル空間）としては同型ですよね？
0361１３２人目の素数さん
2008/05/22(木) 08:59:41（前半）
あなたはR加群をどう定義してるの？
ふつうの流儀でふつうに作用を入れると同型になると思うけど。
（後半）
Yes
0362１３２人目の素数さん
2008/05/22(木) 09:12:29どちらも右Ｒ加群にはなりません。
0363360
2008/05/22(木) 12:15:59ありがとうございます。
行列の積をRからの作用として右R加群を考えています。
これが間違いなのでしょうか。
>>362
ありがとうございます。
Ｍ，Ｎとも左R加群になるのはわかりますし、Nが右R加群にならないのもわかります。
しかしMが右R加群にならないのがわかりません。
やはりRからの作用の定義に問題があるのでしょうか？
0364１３２人目の素数さん
2008/05/22(木) 20:14:38代数系の研究で、何より先に結合法則が仮定される理由、
つまり、結合法則がなぜそれほど重要なのかが、どうしても
しっくり来ません。
既出かも知れませんが、どなたかご教示ください。
0365１３２人目の素数さん
2008/05/22(木) 21:15:31右R加群の定義を正確に書いてごらん。
0366１３２人目の素数さん
2008/05/22(木) 21:33:23結合法則を仮定しない代数系に関する研究もある。
結合法則を満たす代数系を考えることが多いのは、
興味のある代数構造は「（条件を満たす）関数のなす集合」
みたいなところから出てくることが多くて、
関数合成が結合性を満たすからだと、俺は思ってる。
もちろん人によって考え方は違うところだと思うけど。
0367１３２人目の素数さん
2008/05/22(木) 21:49:32と思う。
圏とはモノイドの拡張になっている。
圏のある対象 X の自己射全体 Hom(X, X) はモノイドになる。
従って、モノイドは数学のあらゆる場所に現れる。
X の自己同型全体 Aut(X) は群になる。
アーベル圏のある対象 X の自己射全体 Hom(X, X) は環になる。
0368１３２人目の素数さん
2008/05/22(木) 22:14:09366さん、367さんがおっしゃるように、
Hom(X,X)が結合法則を満たすことが、大きな理由で
あることはよくわかります。
ただ、基本（？）に戻って、自然数や整数、有理数、実数の
演算としての＋、×を一般化する過程において、なぜ結合法則が、
ある意味で最も「神格化」されたのか、というのがわからないのです。
直感的には、交換法則の方がよほど基本的なようにも思われます。
あるいは子供に説明するとき、自然数の加法、乗法の結合法則の
証明（説明）は、それほどやさしくないようにも思えます。
そのあたりの、納得できる説明を、どなたかお願いいたします。
0369１３２人目の素数さん
2008/05/22(木) 22:31:05あんたは、何か大きな勘違いをしてるようだな。
このスレを見てるとそういう勘違いをしてる者が多いが。
代数系というのは人間が自由に決めていいように思ってるようだが、
数学というのはそういうものではない。
0370１３２人目の素数さん
2008/05/22(木) 22:36:11369さん、私も、単に形式的なルールを決めただけの
代数系には、多くの場合には意味がないと思います。
「自由に決めていいものではない」からこそ、
「結合法則を満たしていなくてはいけない」理由があると
思いますので、それを教えていただきたく存じます。
0371１３２人目の素数さん
2008/05/22(木) 22:53:40> ある意味で最も「神格化」されたのか、というのがわからないのです
神格化されたというソースはどこにあるの？
たとえば八元数は結合法則を満たさないけれど研究があるし、
Jordan代数は非結合的だけど、交換的な代数で、近年も研究されてる。
0372１３２人目の素数さん
2008/05/22(木) 23:08:58お前の考え方がオカシイのは
ある作用のいれかたが存在したら
それ以外のいれ方を考えないというか
それ以外の存在を忘れ去ってしまっている
ということ。
0373１３２人目の素数さん
2008/05/22(木) 23:09:54だから>>367で説明してある。
ねばならない理由って、事実は事実なんだから
素直に認めればいいじゃん。
数学の出来ないやつは難しく考えすぎるからだめなんだよ。
何故、１足す１は２なのかとかな。
－１と－１を掛けると何故プラスになるかとかな。
0374１３２人目の素数さん
2008/05/22(木) 23:12:04東屋-中山の代数学I・IIなんかみると
分配系のほうが当たり前の構造だと思ってる
という感じがするんだが。
お前が何を神格化しようと、
お前の神は俺の神ではないということでは。
0375１３２人目の素数さん
2008/05/22(木) 23:14:35納得したければ身をすり減らしてでも自分で調べて
死ぬまで考え続けろ
それ以外の何物もお前の納得の役に立ちはしない
0376１３２人目の素数さん
2008/05/22(木) 23:16:42いつもいつも気にし続けなきゃならんでしょ、
ひたすらめんどくさいじゃん。
0377１３２人目の素数さん
2008/05/22(木) 23:19:590378１３２人目の素数さん
2008/05/22(木) 23:36:52それでは、355さんの質問に戻って、たとえば実数R上に
二項演算・が定義されているとき、それをあえて関数記号ｆを使って
ｆ：A×A→A
表します。
当然ですが、交換法則
f(a,b)=f(b,a)
は、ｆのグラフ
z=f(x,y)
が、面x=yに関して対称であるということで
特徴づけられます。
それでは、この演算が結合法則を満たすこと、すなわち、
f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))
が成立することを、ｆのグラフの形状の特徴として、
簡単に述べることはできるでしょうか？
これが何か直感的な特徴づけを持つようなら、
ある種の「納得」が得られるような気もします。
0379１３２人目の素数さん
2008/05/22(木) 23:40:08>>356 が既にその解答を与えている
0380１３２人目の素数さん
2008/05/22(木) 23:43:53f(a,x) を a が x に左から作用しているとみたほうが良いんじゃないかな
0381１３２人目の素数さん
2008/05/22(木) 23:44:21ゲームは人間が作ったルールで遊ぶ。
数学ってのは数学的世界の探求なんだよ。
数学的世界ってのは大昔から不変なわけ。
人間がどうこう出来るものじゃない。
0382１３２人目の素数さん
2008/05/22(木) 23:52:56実際、Lie代数とかは満たしてないでしょ。
ただそれ以外にあまり面白い例が知られていないってだけだと思う。
これから千年後の数学はどうなっているか分からないのだから
あまり人為的な理由をこじつけて「納得」しようとしちゃダメだと思う。
0383１３２人目の素数さん
2008/05/23(金) 00:05:14世の中お前のような単純でおめでたいものだけでできあがって居ないということだ。
0384１３２人目の素数さん
2008/05/23(金) 07:22:25作用の集合なんだよ。圏論で言うと射の集合だ。
整数環もｎ倍するという作用の集合なわけ。
だから>>368が可換性のほうが基本的に思えるというのは勘違い。
むしろ非可換が普通。
0385１３２人目の素数さん
2008/05/23(金) 19:13:27384さんがまとめてくださって、８０％くらいまで
すっきりしました。
確かに歴史的に考えても、群や環は、決して整数や実数の
加法、乗法を一般化して生まれたものではなく、（どの時点を
もって「生まれた」とするかは議論があるでしょうが）
ガロアによる根の置換という「作用」の研究から生まれた
わけですもんね。
ということは、むしろ、整数や実数の加法や乗法が
結合法則を満たすことは、大げさに言えば「たまたま」「まぐれ」
という位に考えた方がいいのでしょうか。
0386１３２人目の素数さん
2008/05/23(金) 19:41:090387１３２人目の素数さん
2008/05/23(金) 22:08:00I を有限閉区間 [a, b] とする。
I の二つの分割 Δ = (x_i) と Δ' = (y_i) に対して
Δ の各分点 x_i は Δ' の分点になているとき Δ' は Δ の細分と言い、
Δ ≦ Δ' と書く。
関係 ≦ は明らかに順序関係である。
Δ_1 と Δ_2 を I の二つの分割とする。
Δ_1 と Δ_2 の分点の合併から重複するものを除いたものを Δ_3 とする。
明らかに Δ_1 ≦ Δ_3, Δ_2 ≦ Δ_3 である。
従って、I の分割全体は上向きの有向集合(過去スレ008の140)である。
0388１３２人目の素数さん
2008/05/23(金) 22:50:350389１３２人目の素数さん
2008/05/23(金) 23:10:550390１３２人目の素数さん
2008/05/23(金) 23:31:310391390
2008/05/23(金) 23:35:55あのスレでリーマン積分が出てきてるとは思わなんだ。
0392１３２人目の素数さん
2008/05/24(土) 00:57:25きっと数学的には、整数や実数が結合則を満たすのは
「たまたま」でも「まぐれ」でもなく、ほぼ定義。
君が考えるべきは、人間の数に関する直感が
抽象的な整数や実数と対応していることじゃないかな。
0393１３２人目の素数さん
2008/06/04(水) 07:03:08発見した
今から論文にまとめる
楽しみにしとけ
0394１３２人目の素数さん
2008/06/10(火) 00:43:52そもそも、そのような環は存在可能でしょうか？
0395１３２人目の素数さん
2008/06/10(火) 01:04:25四元数を知らんのかたわけ者。
0396１３２人目の素数さん
2008/06/10(火) 01:21:54すみません。超初心者です。勉強します。
0397１３２人目の素数さん
2008/07/04(金) 23:03:000398１３２人目の素数さん
2008/07/05(土) 12:36:39集合･位相から群論に進むのにいい教科書ありませんか
「現代数学概説Ⅰ」を読んでるのですが
分かりにくくて挫折しそうですorz
0399１３２人目の素数さん
2008/07/05(土) 13:12:31ポントリャーギン「連続群論」
0400１３２人目の素数さん
2008/07/05(土) 14:15:350401１３２人目の素数さん
2008/07/05(土) 14:22:310402１３２人目の素数さん
2008/07/05(土) 15:01:510403１３２人目の素数さん
2008/07/05(土) 15:07:10純粋な数学好きにはあまり向いてないという印象
Langの方は読んだことないからわからんが。
0404１３２人目の素数さん
2008/07/05(土) 16:33:02圏論を意識して書いてる。
アメリカだから大学院とかそういうことじゃなくて、
実際にかなりレベルが高い。
学部生がゆっくりしっかり勉強するためのArtinと比較してもしかたない。
＞具体例あげすぎ、ちゃんと証明してない定理多杉。
代数学とは何か、とかそこまで読み物じゃないだろうけどね。
0405１３２人目の素数さん
2008/07/15(火) 04:53:490406１３２人目の素数さん
2008/07/16(水) 15:59:450407１３２人目の素数さん
2008/07/16(水) 19:22:08整域は商体に埋め込める
0408405
2008/07/17(木) 01:01:53ttp://www.com.mie-u.ac.jp/~kanie/tosm/humanind/jinmei_m.htm#Mal'tsev
に
＞1937年に環の体への埋め込み可能性についての論文を書く．
＞元は，ファン・デル・ヴェルデンの
＞「体に埋めこむことのできない，零因子を持たない環があるか」という問題だった．
という記述があるのですが、これは、商体を考えれば良いのだから無い、
という結論になるのですか？もう少し複雑な問題だと思っていました。
0409１３２人目の素数さん
2008/07/17(木) 01:17:36易しいことを難しく質問するのがw
0410１３２人目の素数さん
2008/07/17(木) 02:10:09ああ，非可換でいいのか．だったら簡単に作れる．
S を {a, b, c, d, x, y, u, v} が生成する(単位的な)半群で，
各元が a x = b y, c x = d y, a u = b v なる条件を満たすものとし，
R = k S (k は可換体) として得られる環 R が例になる．
（S上では c u ≠ d v だが，埋め込めたとすると c u = d v になる）
0411１３２人目の素数さん
2008/07/17(木) 13:58:50とか外国語の複数形を意識して「～たち」とか使うやつがいるけど、
気持ち悪いんですが。
それをかっこいいと思っているやつもいるみたいで。
0412１３２人目の素数さん
2008/07/17(木) 14:41:19酒井とかいうジジイ数学者がそれだ
0413１３２人目の素数さん
2008/07/17(木) 19:03:14俺も使うよ。
正直なんか擬人化っぽくてカッコ悪いとは思うんだが
複数と単数の違いは、日常生活ならいざ知らず、
数学では結構効いて来るので。
その点のみに関しては日本語は英語より不利だと思う。
擬人化っつっても
∧＿∧ ┌────────────
◯（ ´∀｀ ）◯ ＜ 743ﾀﾝは132人目の素数ちゃん！
＼ ／ └────────────
_／ ＿＿ ＼_
（＿／ ＼＿）
ｌｌｌ
とかは流石に言いませんが。
0414１３２人目の素数さん
2008/07/17(木) 20:21:56くどい書き方になるのとどっちがいいか
昔の本ではあまり見ないかな
0415１３２人目の素数さん
2008/07/17(木) 20:51:42を書いているのだが。「素数の皆さん」とか「特異点たち」が
必要不可欠な表現とは思えん。
0416１３２人目の素数さん
2008/07/17(木) 21:07:30代数学に限った話ではないし、そろそろスレ違いだな。
俺もかなり問題あると思うが
昨今の学生の読解力を考えると案外必要不可欠なのかもしれん
0417１３２人目の素数さん
2008/07/17(木) 21:24:54酒井って、ディリクレ＆デデキントの整数論の教科書を訳した人？
あんまり訳の完成度が高くなかったような。
本自体は分かりやすい高木の本よりさらに分かりやすいけど。
0418１３２人目の素数さん
2008/07/17(木) 21:34:00そうです。日本語に冠詞を「添加」しようなんて提案も
どこかでしていましたっけ。
0419１３２人目の素数さん
2008/07/17(木) 21:39:070420１３２人目の素数さん
2008/07/24(木) 06:31:01逆に英語では point(s) なんて書かなきゃならない場合もある。
要するに日本語で「たち」とか冠詞を使いたいと思うのは西洋かぶれ。
0421１３２人目の素数さん
2008/07/25(金) 16:22:290422１３２人目の素数さん
2008/08/05(火) 19:32:46S[n,m]={x∈S_n | x^m=1 x^i≠1(i=1,...,m-1)} として
S[n,m]を x～y ⇔ ∃g∈S_n xg=gy という同値類で割った商集合をA[n,m]としたとき
A[n,m]の元の個数って一般に幾つになるんでしょうか
0423１３２人目の素数さん
2008/08/07(木) 12:55:38A[n,m]は、
n = a_1 + a_2 + ... + a_r、a_iは正の整数、a_1≦a_2≦ ... ≦a_r
a_1, a_2, ... a_rの最小公倍数がm
を満たす有限数列の個数、ということになるな。
個別のn,mについて組み合わせ論的に計算することは可能だろうけど、
一般的に式で表すのは難しいんじゃね？
0424１３２人目の素数さん
2008/08/07(木) 13:03:10K[S] = K(S) ⇒ S の元はすべてK上代数的
っていう命題を簡単に（ネーターの正規化定理とか使わずに）
示すことってできる?
0425１３２人目の素数さん
2008/08/07(木) 16:55:25式で表すのが難しくても、423のようには表せるのですね。ありがとうございました
0426１３２人目の素数さん
2008/08/07(木) 19:47:27冒頭のはしがきにはこの本の内容は基礎的なものであって専門的なものではないというようなことが書いてありましたので1回か2回生くらいかと思うのですが
0427１３２人目の素数さん
2008/08/07(木) 20:19:442年生くらい。
0428１３２人目の素数さん
2008/08/07(木) 21:36:15ありがとうございます
がんばります
0429１３２人目の素数さん
2008/08/08(金) 01:00:23松村「可換環論」定理5.2
0430１３２人目の素数さん
2008/08/08(金) 19:18:13サンクス！ 松村の本で証明をチェックしました。
それなりに長い証明だけど、正規化定理の証明よりはだいぶ簡単ですね。
ちなみに、今読んでる岩波の堀田「環と体2」で>>424の命題の証明が
なんか変で（たった3行しかなく、たぶん証明になってない）、正しい簡単な
証明を探してました。
ありがとうございました。
0431１３２人目の素数さん
2008/08/08(金) 19:21:25命題1.11（p.9）の
(ii) K[a_1, ..., a_n] = K(a_1, ..., a_n) ⇒ (iii) [K(a_1, ..., a_n):K] < ∞
の証明が変。帰納法の仮定は「n-1 まで (i)(ii)(iii)が同値であること」のはず
なのに、「a_1, ..., a_(n-1) が代数的」を仮定してしまっているようにみえる。
なお、実は別分冊「環と体1」のほうの補題4.10（p.71）で、これと実質的に
同等な命題が（ネーターの正規化定理を使って）示されています。
0432１３２人目の素数さん
2008/08/08(金) 19:40:13定理 2.25（p.50）（1の原始n乗根を含む体K上の巡回拡大はK(a^(1/n)]）
の「(ii)⇒(i)」の証明で、
「σの位置はnゆえ、これは位数nの巡回群であり..」
というところにギャップがあると思われます。
他の本のように、Lagrangeの分解式かHilbertの定理90を使わないとこれは言えないはず。
0433１３２人目の素数さん
2008/08/08(金) 19:44:47■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています