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代数学総合スレッド Part4

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0001１３２人目の素数さん2007/08/25(土) 09:00:00
代数に関する話題全般のスレッドです。

代数学総合スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/
代数学総合スレッド Part2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/
代数学総合スレッド part3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1116279106/
0274１３２人目の素数さん2008/02/16(土) 01:51:43
>>273
Q[a]は、aを変数とするQ係数の多項式全体。
Q(a)は、aを変数とするQ係数の有理式全体。
0275１３２人目の素数さん2008/02/16(土) 02:11:35
Q(a)=Q[a]は多項式=有理式
という意味でしょうか？
理解してませんでした。
もう一度、頭の中整理します。
0276１３２人目の素数さん2008/02/16(土) 02:28:35
>>269
aのQ上最小多項式をf(x)とすれば、f(a)=0であり、
f(a)=(x+ay)g(a)+q=0 (g∈Q[a], q∈Q)と
表せば、1/(x+ay)=-g(a)/q。

じゃダメ？
0277１３２人目の素数さん2008/02/16(土) 03:16:45
>>276

なるほど。
イメージわいてきました。
0278１３２人目の素数さん2008/02/16(土) 08:00:58
また妙なのが沸いてきたな（２７６のこと）
0279１３２人目の素数さん2008/02/16(土) 08:03:37
結局、276の考え方でいいのかな？
0280１３２人目の素数さん2008/02/16(土) 08:05:58
ｗWWWWW
0281１３２人目の素数さん2008/02/16(土) 08:28:55
276 は単に 1/(x+ay) を書き下しただけで
考え方も何もないんだけど
0282１３２人目の素数さん2008/02/16(土) 08:43:44
Q(a) = Q[a] は Q[a] が Q 上有限次で整域であることからも出る。
f ∈ Q[a] で f ≠ 0 なら g ∈ Q[a] に fg ∈ Q[a] を対応させる
写像は Q 上の線形写像である。Q[a] は整域だからこの写像は単射
である。Q[a] は Q 上有限次だからこの線形写像は全射でもある。
よって fg = 1 となる g ∈ Q[a] がある。即ち Q[a] は体。
0283１３２人目の素数さん2008/02/16(土) 08:52:11
実際に f(a) ∈ Q[a] が与えられたときに f(a)g(a) = 1 となる
g(a) ∈ Q[a] を求めるにはユークリッドの互除法によるのがいい。

a の最小多項式を F(X) とする。
f(a) ≠ 0 なら f(X) は F(X) で割れない。
F(X) は既約だから f(X) と F(X) の最大公約多項式は１である。
従ってユークリッドの互除法から f(X)g(X) + F(X)G(X) = 1 となる
多項式 g(X) と G(X) がある。
このとき、f(a)g(a) = 1 となる。
0284１３２人目の素数さん2008/02/16(土) 11:22:13
276は前に馬鹿にされていた奴だろ？ｗ
0285１３２人目の素数さん2008/02/16(土) 11:49:21
念のために書き込んでおくが>>276と>>264(=私)は同一人物ではない。
私はこのスレに>>264以降今まで一切書き込んでいない。
0286１３２人目の素数さん2008/02/16(土) 12:05:25
アホなレスがあるとやたらに活気付くなｗ
お前等、普段不幸なんじゃないの？
0287１３２人目の素数さん2008/02/16(土) 12:49:35
俺が出品してる本も買ってくれよ！
0288１３２人目の素数さん2008/02/16(土) 18:23:54
にゃ
0289１３２人目の素数さん2008/02/16(土) 21:48:09
PJCの本の第二版ｷﾀー
今から読むぉ
0290１３２人目の素数さん2008/02/16(土) 23:26:51
PJCって何？
0291１３２人目の素数さん2008/02/17(日) 03:41:25
それにしても>>206のいう
a、bが代数的数なら、abとa+bも代数的数
の初等的な証明はないのかね。
やはり体論を使うのが１番初等的なのか。
これより初等的な証明はなかったのか。
何か外伝がある気がしてならないんだが。

考えれば考える程難しい。
0292１３２人目の素数さん2008/02/17(日) 07:37:16
Q[a,b] が Q上有限次元ベクトル空間で
その基底が 1, a, ab, a^2・b,..., b, ab, ab^2,...
c=a+b(or ab)としてcによる掛け算は Q[a,b]の一次変換だから
Q-係数の行列 M で表せる。行列式 det(M-cI)=0 だから cは代数的。

#警告！２ちゃんねるは有害です。
0293１３２人目の素数さん2008/02/17(日) 08:29:24
Q[a,b] が Q上有限次元ベクトル空間

これはどうした？
0294１３２人目の素数さん2008/02/17(日) 09:19:24
aの任意のベキ乗は、最小多項式の次数未満のベキ乗の一次結合で書ける。
bについても同様だから、環Q[a,b]はQ上有限次元。

#警告！２ちゃんねるは有害です。

0295１３２人目の素数さん2008/02/17(日) 09:53:23
>>294
>bについても同様だから、環Q[a,b]はQ上有限次元。

要するに [Q[a] : Q] と [Q[b] : Q] が有限だがら
[Q[a,b] : Q] も有限と言ってるわけね。
これは何故？
0296１３２人目の素数さん2008/02/17(日) 09:56:10
>>292
行列式使わなくてもいいけどね。
c が代数的でないと Q[c] は Q 上無限次になる。
0297１３２人目の素数さん2008/02/17(日) 10:46:27
アホすぎｗ
0298１３２人目の素数さん2008/02/17(日) 10:47:54
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02992952008/02/17(日) 14:20:08
>>297
なら>>295に答えてくれ。
頭のいいあんたには簡単だからすぐ答えられるよな？
正解を答えられないならあんたもアホと認定する。
0300１３２人目の素数さん2008/02/17(日) 19:20:07
[Q[a,b],Q[b]] と[Q[a],Q]との比較の問題
03012952008/02/17(日) 19:39:36
>>300
ちゃんと分かるように証明しろよ。
誤解の無いように言うと俺は証明は知ってる。
0302１３２人目の素数さん2008/02/17(日) 23:06:34
a, b 各々の最小多項式の次数を m, n とおく。
環 Q[a,b]の任意の元は 1, a, b, ab,... a^(m-1)・b^(n-1) の
Q-係数の一次結合で書けるから、Q[a,b] は Q-ベクトル空間として有限次元。
c=a+b (or ab) として c による掛け算は Q[a,b] の一次変換だから
Q上の行列 M で表せる。行列式 det(M-cI)=0 だから cは代数的。

#警告！２ちゃんねるは有害です。
0303１３２人目の素数さん2008/02/17(日) 23:08:07
モデレータの人に質問です。
煽ってスレを伸ばすといくら貰えますか？
0304１３２人目の素数さん2008/02/19(火) 04:45:48
つ⑩
0305１３２人目の素数さん2008/02/19(火) 20:58:44
代数学を基本(群から)やり直したいんですがお勧めの本ありますか？
0306１３２人目の素数さん2008/02/19(火) 21:05:17
>>305
洋書ならArtinかDummit-Footが良い。非常に教育的にできてる。
Langはありとあらゆることが載ってるけど理解してる人向けの辞書
みたいなものだから通読には向かない。
和書だと良いものがすべて絶版になってて良いものがないかもしれない。
0307１３２人目の素数さん2008/02/20(水) 00:39:47
Dummit-Footeね
0308１３２人目の素数さん2008/02/20(水) 00:56:16
>>305

岩波講座基礎数学の「環と加群」が良い。
読むにあたって必要な予備知識が少ない(集合を知らなくても読める)。
自己完結していて他の本を余り参照しなくても読める(と思う)。
手に入りにくいがまずはこれを通読し精読するのが良いのではないかと。
ちなみにこれには他の本に書かれていない内容がかなり書かれている。
0309１３２人目の素数さん2008/02/20(水) 01:49:22
>>308
ゴタゴタしていて、ちょっとセンスが古かねぇーか。
概要がつかみにくいって印象がする。
ウェルデンの本の方みたいに読み易いといいのにね。
0310１３２人目の素数さん2008/02/20(水) 02:26:22
和書ではArtinやDummit-Footeに当たるようなのがないね。
松坂「代数系入門」は内容が薄いし、森田「代数概論」はレジュメみたいだし、
親切な～とかゆとりチックなのがいくつかあるけど薦めるのもどうかと思うし。
教室で口伝えで学ぶ学問なのか。
代数学を学ぶ上で良書がないことが初学者にとって障壁になってるんじゃないか
と思うほどだ。
0311１３２人目の素数さん2008/02/20(水) 04:27:49
オイラー全集が最強
0312１３２人目の素数さん2008/02/20(水) 04:29:58
堀田のが、最高。簡潔でいいよ。
0313１３２人目の素数さん2008/02/20(水) 07:08:25
夜公園の砂場で前方後円墳を作って遊んだ
すげえ楽しかったｗｗｗ
こういう気持ちを忘れたくない。
0314１３２人目の素数さん2008/02/20(水) 14:58:05
ハンガーフォードや六と万もえーでー
オレも山崎は好きでない（系が多すぎる）、ラムの方がいい
0315１３２人目の素数さん2008/02/20(水) 16:41:06
堀田の「代数入門」（裳華房）や「可換環と体」（岩波）はエレガントでいいよね。
ただちょっと例が少ないような気がする。
0316１３２人目の素数さん2008/02/20(水) 17:01:39
初心者には永田先生の可環体
0317１３２人目の素数さん2008/02/20(水) 17:14:56
堀田さんはそんな本を書くよりも
論文を書くべきだったな
ここ20年も論文を書いていない
0318１３２人目の素数さん2008/02/20(水) 19:34:10
ホモロジー代数が載ってないからダメ
0319１３２人目の素数さん2008/02/20(水) 20:08:18
そんな一冊で何でもかんでも書いてある本要求してもねえ
0320大嘘つき2008/02/21(木) 01:22:12
なんといっても、岩波の数学辞典に限る。
載っている定理に証明をつけていけば、よい演習になる。
0321１３２人目の素数さん2008/02/26(火) 00:45:11
体Ｋ上代数的な元ｓ，ｔを添加した体Ｋ（s，ｔ）と
Ｋ（s＋t）は一致しますか？
0322１３２人目の素数さん2008/02/26(火) 00:50:31
s=2^1/2,t=1-2^1/2なら？
0323１３２人目の素数さん2008/02/26(火) 01:06:16
なるほど。では，Ｋに対してＫ（ｓ，ｔ）とＫ（s＋t）が共に同じ拡大次数を持つ場合は　
どうなんでしょう
0324禿げしく一致する2008/02/26(火) 03:53:11
あ
あ
く
だ
ら
ん
0325有馬 ◆13wx.ARIMA 2008/02/26(火) 12:13:02
ホモ(*´з｀)
露自慰代数
0326１３２人目の素数さん2008/02/26(火) 14:18:38
>>323
マジレスすると、Ｋ(s＋t)⊆ Ｋ(s, t) だからK上の拡大次数が一致するなら
（ベクトル空間の次元の一意性より）両者は一致する。
0327１３２人目の素数さん2008/02/27(水) 11:00:58
マジレスでなくとも糞レスでも自明
質問者自体が質問して暫くのちに自己解決しているのが普通
0328１３２人目の素数さん2008/03/12(水) 12:11:17
　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　～⌒ヽ.
　　　　　 　　_.～⌒ヽ.　 　('A`)～´ ｀ヽ._.′　　　 ヽ._.～~
ｷﾀ～´ ｀ヽ._.′　　　　ヽ._ﾉ
0329１３２人目の素数さん2008/03/16(日) 21:58:37
代数の教科書でDummit-FooteのかCohnのかで迷ってるんですが、どっちがいいんでしょうか？
0330１３２人目の素数さん2008/03/16(日) 22:11:15
好みの問題だが、個人的には Dummit-Foote のほうが読みやすいと思う
0331１３２人目の素数さん2008/03/16(日) 22:38:59
>>330
いまPJCの代数入門で準備運動してるんですけど、
PJCのfurther readingではCohnかLangかな？みたいに書いてあって、
>>306みたいな指摘があってちょっと迷ちゃってるんですよね。
どうしよ、、、、。
0332１３２人目の素数さん2008/03/16(日) 23:50:38
図書館で両方目を通してみて自分に合いそうなほうを読めばいいじゃん。
誰かにこっちを読めって言われないと安心できない年頃？
0333１３２人目の素数さん2008/03/17(月) 00:16:56
>>332
んー、フィーリングの話じゃないんですけど、まあCohnにしますわ。
03342952008/03/17(月) 07:46:03
群は簡単な概念だと思うけどなあ。
このどこがわからないのかがわからない。
群っていうのは最初は置換群だと思っていればいい。
抽象的な定義から入るからわからないのかもしれんな。
0335１３２人目の素数さん2008/03/21(金) 02:42:48
痴漢の群れ(;´Д`)ハァハァハァハァ/lァ/lァ/lァ/lァ/ヽァ/ヽァ/ヽァ/ヽァ ノ ＼ア ノ ＼アノ ＼ア ノ ＼ア
0336１３２人目の素数さん2008/03/21(金) 09:53:37
n×n行列のなす代数(algebra)に対して、
生成元の個数の最小値を評価したいのですが
どうすればよいのでしょう？
0337１３２人目の素数さん2008/03/22(土) 14:43:57
>>336
Bruhat-Tits buildings について勉強すればいいよ。
0338１３２人目の素数さん2008/03/26(水) 08:15:32
>>337
日本語の本でよいものはありますか
0339１３２人目の素数さん2008/03/27(木) 22:13:20
>>338
あったら俺が欲しい。
とりあえずブルバキの『リー群とリー環3』。
0340１３２人目の素数さん2008/03/28(金) 02:55:15
>>338

確か、鈴木道夫の群論上に Bruhat-Tits buildings の基になる組合せ論的なことが書かれている。
だから、これを読めば良いんじゃないか？
0341１３２人目の素数さん2008/03/28(金) 22:57:35
おっぱいの建物って何？
0342１３２人目の素数さん2008/04/05(土) 20:43:44
質問です。
環Rに対し、R 以外のイデアル全体の集合は、包含関係による順序が入るため、ツォルンの補題より、任意のイデアルはある極大イデアルに含まれる。
とwikipediaにあるんですが、ツォルンの補題をどう使っているのかわかりません。
一体どの集合が帰納的順序集合なんでしょうか？
また、任意のイデアルを取ったときに、そこからイデアルの無限増加列が取れればこの議論はまずいのでは、とも思ってしまうのですが。
0343１３２人目の素数さん2008/04/05(土) 21:11:50
>>342
自然数の集合に無限大を追加した順序集合は
無限増大列が存在してかつ極大元が存在するだろ。
0344１３２人目の素数さん2008/04/05(土) 21:11:51
鎖（帰納的順序集合）ってのは順序集合の中の全順序な部分集合なんだから
順序が定まったらどの集合が鎖なのかは定まる。

イデアルの増加列に対してはその全体の合併集合を取れば良い。
無限か有限かはあまり関係無い。
03453422008/04/05(土) 22:15:32
回答ありがとうございます。
まだわからないところがあるので重ねて質問します。

任意のイデアルを取り、“それを含むイデアル”の族Aが帰納的順序集合であるという流れだと思いますが、
そのためにはAの中の全順序な部分集合が上界をもたなければならず、
そこで無限大や合併集合を考えるとAに含まれない上界になってしまって帰納的順序集合の定義からはずれることになりませんか？
0346１３２人目の素数さん2008/04/05(土) 22:23:25
>>345
合併集合はAに属すると思うが。
0347１３２人目の素数さん2008/04/05(土) 22:50:43
考えてみたら属しますね。解決しました。
回答してくださった方々、ありがとうございました。
0348１３２人目の素数さん2008/04/06(日) 06:46:51
何がわからなかったのかがわからん。
0349１３２人目の素数さん2008/04/07(月) 18:05:34
ｌܷܷܷܵܶܶ
0350１３２人目の素数さん2008/04/26(土) 00:19:22
符号理論の理解を補助するために
ガロア体の知識を増やしたいんですが、ちょうどいいやつってありませんか？
群環体の基本事項は一通り勉強したことはあるんですが
0351１３２人目の素数さん2008/04/26(土) 00:20:20
Algebra artin注文した
0352１３２人目の素数さん2008/04/28(月) 23:19:41
>>351
結構癖が強いぞ。いやになったらdummit-footeもよろしくな
0353１３２人目の素数さん2008/04/28(月) 23:34:30
ほかにもLamとかも在るよね。
Zariski-Samuelの一巻とかも代数学の教科書として意外と良いらしい。

これ二巻まで読んだら松村の可換環論に進めるかな？
Atiyah-Macdonald先に読むべきなんだろうか
0354１３２人目の素数さん2008/04/29(火) 12:55:53
LamのNon commutativeの方の問題集が手に入らないorz。
0355１３２人目の素数さん2008/05/13(火) 02:39:42
結合律を満たす二項演算の群表上には、何か視覚的な特徴ってあるでしょうか
例えば、可換であるためには主対角線に関して対称になっているような
よろしくお願いします
0356１３２人目の素数さん2008/05/13(火) 03:01:02
>>355
見やすい条件は、特に知られていない。

言い換えると、ある表があたえられたとき、それが群表であるか
（特に、結合率を満たすか）、をチェックするのは、本質的には
全部の３つ組について確かめるくらいしか知られていない。
0357１３２人目の素数さん2008/05/13(火) 03:02:05
>>356
ありがとうございます
0358１３２人目の素数さん2008/05/14(水) 23:08:30
細かいことは忘れたが、ある代数系（束と群を融合させたようなの）で、
ある命題の反例を作り出すことに躍起になったことがあった。
その時に最も厄介だったのが、結合律を満たすように万障繰り合わせる
作業だったということだけは鮮明に覚えている。
0359１３２人目の素数さん2008/05/18(日) 09:29:58
age
0360１３２人目の素数さん2008/05/21(水) 23:16:33
別スレから来ました。全行列環上の加群について教えて下さい。
例えばKを体として、Rを３次全行列環M3(K)とします。このとき３次正方行列M＝
K K 0
K K 0
K K 0
は右R加群だが、３行２列行列N＝
K K
K K
K K
は右R加群ではない。これは正しいでしょうか？
MとNはK加群（６次元Kベクトル空間）としては同型ですよね？
0361１３２人目の素数さん2008/05/22(木) 08:59:41
>>360
（前半）
あなたはR加群をどう定義してるの？
ふつうの流儀でふつうに作用を入れると同型になると思うけど。

（後半）
Yes
0362１３２人目の素数さん2008/05/22(木) 09:12:29
>>360
どちらも右Ｒ加群にはなりません。
03633602008/05/22(木) 12:15:59
>>361
ありがとうございます。
行列の積をRからの作用として右R加群を考えています。
これが間違いなのでしょうか。
>>362
ありがとうございます。
Ｍ，Ｎとも左R加群になるのはわかりますし、Nが右R加群にならないのもわかります。
しかしMが右R加群にならないのがわかりません。
やはりRからの作用の定義に問題があるのでしょうか？
0364１３２人目の素数さん2008/05/22(木) 20:14:38
355の方の関連、というかもっと初歩的な質問なのですが、
代数系の研究で、何より先に結合法則が仮定される理由、
つまり、結合法則がなぜそれほど重要なのかが、どうしても
しっくり来ません。

既出かも知れませんが、どなたかご教示ください。
0365１３２人目の素数さん2008/05/22(木) 21:15:31
>>363
右R加群の定義を正確に書いてごらん。
0366１３２人目の素数さん2008/05/22(木) 21:33:23
>>364
結合法則を仮定しない代数系に関する研究もある。

結合法則を満たす代数系を考えることが多いのは、
興味のある代数構造は「（条件を満たす）関数のなす集合」
みたいなところから出てくることが多くて、
関数合成が結合性を満たすからだと、俺は思ってる。

もちろん人によって考え方は違うところだと思うけど。
0367１３２人目の素数さん2008/05/22(木) 21:49:32
>>366と同じ様な意見だが、圏の射が結合法則を満たすことが根本にある
と思う。
圏とはモノイドの拡張になっている。
圏のある対象 X の自己射全体 Hom(X, X) はモノイドになる。
従って、モノイドは数学のあらゆる場所に現れる。
X の自己同型全体 Aut(X) は群になる。
アーベル圏のある対象 X の自己射全体 Hom(X, X) は環になる。
0368１３２人目の素数さん2008/05/22(木) 22:14:09
=364です。

366さん、367さんがおっしゃるように、
Hom(X,X)が結合法則を満たすことが、大きな理由で
あることはよくわかります。

ただ、基本（？）に戻って、自然数や整数、有理数、実数の
演算としての＋、×を一般化する過程において、なぜ結合法則が、
ある意味で最も「神格化」されたのか、というのがわからないのです。

直感的には、交換法則の方がよほど基本的なようにも思われます。

あるいは子供に説明するとき、自然数の加法、乗法の結合法則の
証明（説明）は、それほどやさしくないようにも思えます。

そのあたりの、納得できる説明を、どなたかお願いいたします。
0369１３２人目の素数さん2008/05/22(木) 22:31:05
>>368
あんたは、何か大きな勘違いをしてるようだな。
このスレを見てるとそういう勘違いをしてる者が多いが。
代数系というのは人間が自由に決めていいように思ってるようだが、
数学というのはそういうものではない。
0370１３２人目の素数さん2008/05/22(木) 22:36:11
=368(=364)です。

369さん、私も、単に形式的なルールを決めただけの
代数系には、多くの場合には意味がないと思います。

「自由に決めていいものではない」からこそ、
「結合法則を満たしていなくてはいけない」理由があると
思いますので、それを教えていただきたく存じます。
0371１３２人目の素数さん2008/05/22(木) 22:53:40
>>368
> ある意味で最も「神格化」されたのか、というのがわからないのです
神格化されたというソースはどこにあるの？

たとえば八元数は結合法則を満たさないけれど研究があるし、
Jordan代数は非結合的だけど、交換的な代数で、近年も研究されてる。
0372１３２人目の素数さん2008/05/22(木) 23:08:58
>>363
お前の考え方がオカシイのは
ある作用のいれかたが存在したら
それ以外のいれ方を考えないというか
それ以外の存在を忘れ去ってしまっている
ということ。
0373１３２人目の素数さん2008/05/22(木) 23:09:54
>>370
だから>>367で説明してある。
ねばならない理由って、事実は事実なんだから
素直に認めればいいじゃん。
数学の出来ないやつは難しく考えすぎるからだめなんだよ。
何故、１足す１は２なのかとかな。
－１と－１を掛けると何故プラスになるかとかな。
0374１３２人目の素数さん2008/05/22(木) 23:12:04
>>368
東屋-中山の代数学I・IIなんかみると
分配系のほうが当たり前の構造だと思ってる
という感じがするんだが。
お前が何を神格化しようと、
お前の神は俺の神ではないということでは。
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