代数学総合スレッド Part4
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0001１３２人目の素数さん
2007/08/25(土) 09:00:00代数学総合スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/
代数学総合スレッド Part2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/
代数学総合スレッド part3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1116279106/
0208１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 09:56:19馬鹿>>207
0209１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 10:59:050210１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 11:58:12a、bが代数的数であったとすると
xに関する有理係数方程式
x=a、x=b
から2つの方程式
2x=a+b、x^2=ab
が得られて
y=2x、z=x^2とおけば2つの有理係数方程式
y=a+b、z=ab
が得られるから
a+b、abも代数的数となる。 終わり
0211１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 12:12:380212１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 12:22:13馬鹿はお前じゃないか？
0213１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 13:03:51バカ
0214１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 13:13:26ほう、ではどこがどのように間違っているのか指摘して。
0215１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 13:16:30から2つの方程式
2x=a+b、x^2=ab
へへへ 滅茶苦茶じゃんｗ
低脳めｗ
0216１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 13:46:082つの等式x=a、x=bはあくまで方程式であって
解であることを保証している等式ではない。
即ち左辺のxは共に未知数だ。
そのような2つの等式が成立していることを仮定すれば
例の2つの方程式
2x=a+b、x^2=ab
は簡単に導けるじゃないか。
逆にこの段階でa=bを仮定しているから導けた方程式の解が
x=a=bに限ることを示す必要があるが
これも簡単に出来るだろ。
a、bが代数的数と仮定している限り何の問題もないだろ。
0217１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 13:57:14＞簡単に導けるじゃないか。
0218１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 13:58:03質問者はわからんから聞いているんだろ？簡単にがｗ
0219１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 13:59:030220１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 14:00:36まさか、計算過程を書かせろというのではあるまいな。
0221１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 14:02:10大学で先生に見てもらえｗ
0222１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 14:02:59馬鹿はｗ
0223１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 14:03:58＞簡単に導けるじゃないか。
0224１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 14:06:29馬鹿の分際でこのスレで解答をつけるなよｗ
0225１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 14:44:240226１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 14:52:33おい216、バカ
おい216、バカ
おい216、バカ
おい216、バカ
おい216、バカ
0227１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 15:58:06a+b、abが共に代数的数ではないとする。
次数がn次の任意のモニックな有理多項式をf_{n}(x)とする。
すると任意のモニック有理多項式f_{n}に対して
f_{n}(a+b)=0ではなく かつ f_{n}(ab)=0 ではない。
n=1のとき。このとき任意のc∈Qに対して
a+b=cではなく かつ ab=cではない。
然るにa、bは共に代数的数であるからモニック有理多項式が
モニック1次式の積に分解されるあることに着目すればa、b
は共に或るモニック有理多項式の根である。
よってa+b、abは共に有理数である。
故に或るf_{1}(x)が存在して f_{1}(a+b)=0。
同じく或るf_{1}(x)が存在して f_{1}(ab)=0。
今、n≧2であったとして
或るf_{n-1}(x)が存在して f_{n-1}(a+b)=0 かつ 或るf_{n-1}(x)が存在して f_{n-1}(ab)=0
であったとする。すると
或るf_{n}(x)が存在してf_{n}(a+b)=0 かつ 或るf_{n}(x)が存在してf_{n}(ab)=0。
nに関する帰納法により任意のnに関して
或るf_{n}(x)が存在してf_{n}(a+b)=0 かつ 或るf_{n}(x)が存在してf_{n}(ab)=0。
然るにこれは最初の仮定に反する。
従って背理法によりa+b、abは共に代数的数である。
0228１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 16:53:52モニック1次式の積に分解されるあることに着目すればa、b
は共に或るモニック有理多項式の根である。
これってどうして？
0229１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 17:02:18。。。。。。
然るにこれは最初の仮定に反する。
従って背理法によりa+b、abは共に代数的数である。
あはは。。。論理的におかしい。
0230１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 17:04:27おい216、バカ
おい216、バカ
おい216、バカ
おい216、バカ
おい216、バカ
0231１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 17:06:560232１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 17:26:00a、bを根に持つ1次のモニック有理多項式が存在する。
>>229
>>231
この場合f_{n}(x)を固定して考える必要はない。
n≧2のときの帰納法の仮定も背理法の仮定を用いて示した結論をもとにした仮定ではない。
つまり、背理法の仮定の影響は全くない。
0233１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 17:34:04(>227)
＞然るにa、bは共に代数的数であるからモニック有理多項式が
＞モニック1次式の積に分解されるあることに着目すれば
その「モニック1次式の積」を(x－c1)(x－c2)…(x－cn) とすると、
c1～cnは もはや有理数とは限らないよね？だから
(>232)
＞a、bを根に持つ1次のモニック有理多項式が存在する。
これもおかしくね？
0234１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 17:34:12それって、a, bが有理数になるってことですよね？
a+bとabが有理数でなく、a, bが代数的数なら
a, bが有理数になるという主張なんですか（n=1)
0235１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 17:37:14（この部分の証明が間違いだが）、
少なくとも一つが代数的数であるという
結論しか出ないだろｗ>>227
0236１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 17:38:180237１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 17:43:230238１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 17:44:51本来だったらa+bとabが代数的数であることは独立に示すべきなのだが、
書くのが面倒だから同様な内容の推論を並行して書いただけ。
>>234
>a, bが代数的数ならa, bが有理数になるという主張なんですか（n=1)
これはa、bを根に持つ1次のモニック有理方程式の存在を仮定すれば導ける。
0239１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 17:47:44nはa+b, abについて、それが根にならない多項式の次数なんでしょ？
0240１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 17:48:59ねえ、>233にも返答してよ。
0241１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 17:52:26めちゃくちゃだｗ
ネタなの？
0242１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 17:54:310243１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 18:04:08>a,bが一次式の根になるって書いてありますか？
このことは書き忘れました。
>>233
>その「モニック1次式の積」を(x－c1)(x－c2)…(x－cn) とすると、
>c1～cnは もはや有理数とは限らないよね？
f_{n}(x)の式の形を具体的に書き下して推論はしていないから
>>227の場合には当てはまらない。
>＞a、bを根に持つ1次のモニック有理多項式が存在する。
>これもおかしくね？
例えばx-a、x-bは1次のモニック有理多項式。
ここでちょっと書くのは打ち切ります。
0244１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 18:10:10並行した書き方で、そう見えるでしょう。
a+bが代数的数であることとabが代数的数であることを同時並行して書いてしまったので。
(一時中断。>>243に反して書いてしまったが。)
0245１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 18:18:43あ？「有理多項式」ってのは、有理数係数の多項式のことではないのか？
(複素数)aが代数的数であることの定義は、有理数係数のある多項式f(x)が
存在して、f(a)＝0となるときを言う。これを踏まえた上で>227を読むと、
＞a+b、abが共に代数的数ではないとする。
＞次数がn次の任意のモニックな有理多項式をf_{n}(x)とする。
＞すると任意のモニック有理多項式f_{n}に対して
＞f_{n}(a+b)=0ではなく かつ f_{n}(ab)=0 ではない。
とあるから、君が言うところの「有理多項式」ってのは、有理数係数の
多項式のことなんでしょ？だとしたら、x－a、x－bは「有理多項式」とは
限らないよね(例：a＝√2など)。
君の言う「有理多項式」の定義を教えて。
0246１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 18:33:32定義は「有理数係数の多項式のこと」でよい。
書き間違えたが、x-a、x-bではa、bを既に有理数と仮定してしまっていた。
c、dが有理数のときx-c、x-dは1次のモニック有理多項式になる。
これが挙げようとした例。
でa、bは共に代数的数。
(本当にもう一旦止める)
0247１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 18:41:53ならば、もっと支離滅裂になる。>>228の質問に対し、君は>>232で
＞a、bを根に持つ1次のモニック有理多項式が存在する。
と返答している。しかし、a,bは代数的数であって、有理数とは限らないのだから、
a,bを根に持つ1次のモニックな「有理多項式」は存在するとは限らない。
0248１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 19:04:04>>246の有理多項式の定義を書き間違えた。
「定数項を除く任意の次数の係数は有理数 かつ 定数項は複素数」
であるような多項式を有理多項式という。
>>246を書くときちょっと寝ぼけていた。
(ちょっと寝る)。
0249１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 19:16:47>>248は無視して下さい。
当たり前過ぎて、すぐには>>232にこれ以上答えられない。
(少し寝る)。
0250１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 19:19:540251１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 20:05:240252１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 20:06:240253１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 20:07:520254１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 20:10:220255１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 22:57:190256１３２人目の素数さん
2008/02/14(木) 23:10:190257206
2008/02/15(金) 09:20:57その証明はおそらく正しいと思うのですが、イメージがわきません。
Q(a)はQにaを添加してできる最小の体ですね。
Q(a)が体になるには、Q(a)の逆元(逆数)もQ(a)の元になるはずですが、そのへんがよく理解できません。aが√2などの簡単な例で説明されると分かるのですが、
aがべき根と四則演算で表せない場合、どうやってそれを理解すればいいのでしょうか？
0258１３２人目の素数さん
2008/02/15(金) 10:04:07何を聞いているのか理解できないんだけど．
> Q(a)はQにaを添加してできる最小の体ですね。
YES
> Q(a)が体になるには、Q(a)の逆元(逆数)もQ(a)の元になるはずですが、
> そのへんがよく理解できません。
「そのへん」とは？ Q(a) は a を含む最小の体だから 1/a も Q(a) の元．
これは定義から直ちに出ること．
> aが√2などの簡単な例で説明されると分かるのですが、
> aがべき根と四則演算で表せない場合、どうやってそれを理解すればいいのでしょうか？
それは代数的でない元を添加したということ？
0259１３２人目の素数さん
2008/02/15(金) 10:24:410260１３２人目の素数さん
2008/02/15(金) 11:31:18しゃあねえなあ。207 を書き下してやる。
k を非負整数として (a+b)^k を考える。a, b 代数的だから、
a^n や b^m はそれよりも小さな次数の元たちで書き直せる。
よって、(a+b)^k は 1, ..., a^{n-1} b^{m-1} の、nm 個の項の
Q 係数の線型結合で書ける。つまり，(a+b)^k は
Q 上 nm 次元のベクトルだと考えられる （基底は a^i b^j）．
ところで 1, a+b, ..., (a+b)^{nm} を考える。これらはどれも Q 上 nm 次元の
ベクトルで、nm 本よりたくさんあるのだから、これらは線型従属。
つまり、ある Q 係数の関係式
γ_0 + γ_1 (a+b) + ... + γ_{nm} (a+b)^{nm} = 0
が成立。これは (a+b) が代数的と言っているのと同じ。
0261１３２人目の素数さん
2008/02/15(金) 11:33:48任意の数が代数的であることを証明できそうですねｗ
0262１３２人目の素数さん
2008/02/15(金) 17:14:08我=>>227=>>249 を馬鹿にせんと思ふならばそうするのがよし。
我、>>206 のいふ簡単、如何なるものか、分からなきに等し。
我、稚児にも分からんといふものにてとらへけり。
半ば遊びで書きけることお許し下され。
0263１３２人目の素数さん
2008/02/15(金) 20:42:12で？>>247で指摘された矛盾はどうなったの？
0264１３２人目の素数さん
2008/02/15(金) 20:47:07単なる私の間違い。
0265１３２人目の素数さん
2008/02/15(金) 21:16:080266１３２人目の素数さん
2008/02/15(金) 22:55:022chでこういう風に円満に終わるのは珍しいな。
0267257
2008/02/16(土) 00:30:35ていねいな解説ありがとう。
もう一度頭の中整理します。
0269257
2008/02/16(土) 00:43:18>「そのへん」とは？
Q(a)でaが√2なら、1/(x+√2y)の分母は簡単に有理化できるので、
Q(a)が2次拡大になることが簡単にイメージできます。
aが一般的な代数的数の場合、1/(x+ay)の分母を有理化するのは、
簡単ではないと思うのです。
そういう場合に、 Q(a)が有限次拡大体であるというイメージがわかないのです。
1/(x+ay)がどんな線形結合になるのかのイメージが持てません。
Q(a)が無限次拡大になる可能性はないのかも気になります。
だれか詳しい人、アドバイス下さい。
0270１３２人目の素数さん
2008/02/16(土) 01:03:57この等式はQ[X］が単項イデアル整域であり、単項イデアル整域の
ゼロでない素イデアルが極大イデアルであることから、
Q[a]が体となることがわかって、出る。
Q[a]はQ上有限次元のベクトル空間となる。しかも
aのベキを基底としてとれる。これから上記のようなことも
解決できる。
0271１３２人目の素数さん
2008/02/16(土) 01:06:17なんか拡大次数について壮絶に変な理解をしてるように見える。
0272１３２人目の素数さん
2008/02/16(土) 01:09:31分からなくなったんじゃね？
0273１３２人目の素数さん
2008/02/16(土) 01:34:03Q[a]の記号の意味、教えてください。
0274１３２人目の素数さん
2008/02/16(土) 01:51:43Q[a]は、aを変数とするQ係数の多項式全体。
Q(a)は、aを変数とするQ係数の有理式全体。
0275１３２人目の素数さん
2008/02/16(土) 02:11:35という意味でしょうか？
理解してませんでした。
もう一度、頭の中整理します。
0276１３２人目の素数さん
2008/02/16(土) 02:28:35aのQ上最小多項式をf(x)とすれば、f(a)=0であり、
f(a)=(x+ay)g(a)+q=0 (g∈Q[a], q∈Q)と
表せば、1/(x+ay)=-g(a)/q。
じゃダメ？
0277１３２人目の素数さん
2008/02/16(土) 03:16:45なるほど。
イメージわいてきました。
0278１３２人目の素数さん
2008/02/16(土) 08:00:580279１３２人目の素数さん
2008/02/16(土) 08:03:370280１３２人目の素数さん
2008/02/16(土) 08:05:580281１３２人目の素数さん
2008/02/16(土) 08:28:55考え方も何もないんだけど
0282１３２人目の素数さん
2008/02/16(土) 08:43:44f ∈ Q[a] で f ≠ 0 なら g ∈ Q[a] に fg ∈ Q[a] を対応させる
写像は Q 上の線形写像である。Q[a] は整域だからこの写像は単射
である。Q[a] は Q 上有限次だからこの線形写像は全射でもある。
よって fg = 1 となる g ∈ Q[a] がある。即ち Q[a] は体。
0283１３２人目の素数さん
2008/02/16(土) 08:52:11g(a) ∈ Q[a] を求めるにはユークリッドの互除法によるのがいい。
a の最小多項式を F(X) とする。
f(a) ≠ 0 なら f(X) は F(X) で割れない。
F(X) は既約だから f(X) と F(X) の最大公約多項式は１である。
従ってユークリッドの互除法から f(X)g(X) + F(X)G(X) = 1 となる
多項式 g(X) と G(X) がある。
このとき、f(a)g(a) = 1 となる。
0284１３２人目の素数さん
2008/02/16(土) 11:22:130285１３２人目の素数さん
2008/02/16(土) 11:49:21私はこのスレに>>264以降今まで一切書き込んでいない。
0286１３２人目の素数さん
2008/02/16(土) 12:05:25お前等、普段不幸なんじゃないの？
0287１３２人目の素数さん
2008/02/16(土) 12:49:350288１３２人目の素数さん
2008/02/16(土) 18:23:540289１３２人目の素数さん
2008/02/16(土) 21:48:09今から読むぉ
0290１３２人目の素数さん
2008/02/16(土) 23:26:510291１３２人目の素数さん
2008/02/17(日) 03:41:25a、bが代数的数なら、abとa+bも代数的数
の初等的な証明はないのかね。
やはり体論を使うのが１番初等的なのか。
これより初等的な証明はなかったのか。
何か外伝がある気がしてならないんだが。
考えれば考える程難しい。
0292１３２人目の素数さん
2008/02/17(日) 07:37:16その基底が 1, a, ab, a^2・b,..., b, ab, ab^2,...
c=a+b(or ab)としてcによる掛け算は Q[a,b]の一次変換だから
Q-係数の行列 M で表せる。行列式 det(M-cI)=0 だから cは代数的。
#警告！２ちゃんねるは有害です。
0293１３２人目の素数さん
2008/02/17(日) 08:29:24これはどうした？
0294１３２人目の素数さん
2008/02/17(日) 09:19:24bについても同様だから、環Q[a,b]はQ上有限次元。
#警告！２ちゃんねるは有害です。
0295１３２人目の素数さん
2008/02/17(日) 09:53:23>bについても同様だから、環Q[a,b]はQ上有限次元。
要するに [Q[a] : Q] と [Q[b] : Q] が有限だがら
[Q[a,b] : Q] も有限と言ってるわけね。
これは何故？
0296１３２人目の素数さん
2008/02/17(日) 09:56:10行列式使わなくてもいいけどね。
c が代数的でないと Q[c] は Q 上無限次になる。
0297１３２人目の素数さん
2008/02/17(日) 10:46:270298１３２人目の素数さん
2008/02/17(日) 10:47:54‐个 兀 `:;:.::.':., ,':.::.:,:'
｀.:`.:''''..:.‐ :.:-:.:...,,,, __ ､‐-、 __ ,.‐z_,-､ '':;;:::':, ,...;'::..:,;' ,,.:':
..:..:...:..:..:...:...:...:.:..:...:...:..:.｀＿,,ﾉ └￢､'''.:.:‐:..,,ヾ､__)∠,ｨｸ ／,、 ';:''..:.:..:..:.:..:.'':;'':.:.,;.
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{. ＼ Ｙ巛〈 ） l㌶㍑レﾞく ＼''.:.::.:.:.:/ / 入 ﾟ ｡ `～<ヾヾ､,｀⌒ ～
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0300１３２人目の素数さん
2008/02/17(日) 19:20:070302１３２人目の素数さん
2008/02/17(日) 23:06:34環 Q[a,b]の任意の元は 1, a, b, ab,... a^(m-1)・b^(n-1) の
Q-係数の一次結合で書けるから、Q[a,b] は Q-ベクトル空間として有限次元。
c=a+b (or ab) として c による掛け算は Q[a,b] の一次変換だから
Q上の行列 M で表せる。行列式 det(M-cI)=0 だから cは代数的。
#警告！２ちゃんねるは有害です。
0303１３２人目の素数さん
2008/02/17(日) 23:08:07煽ってスレを伸ばすといくら貰えますか？
0304１３２人目の素数さん
2008/02/19(火) 04:45:480305１３２人目の素数さん
2008/02/19(火) 20:58:440306１３２人目の素数さん
2008/02/19(火) 21:05:17洋書ならArtinかDummit-Footが良い。非常に教育的にできてる。
Langはありとあらゆることが載ってるけど理解してる人向けの辞書
みたいなものだから通読には向かない。
和書だと良いものがすべて絶版になってて良いものがないかもしれない。
0307１３２人目の素数さん
2008/02/20(水) 00:39:470308１３２人目の素数さん
2008/02/20(水) 00:56:16岩波講座基礎数学の「環と加群」が良い。
読むにあたって必要な予備知識が少ない(集合を知らなくても読める)。
自己完結していて他の本を余り参照しなくても読める(と思う)。
手に入りにくいがまずはこれを通読し精読するのが良いのではないかと。
ちなみにこれには他の本に書かれていない内容がかなり書かれている。
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