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代数学総合スレッド Part4

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0001１３２人目の素数さん2007/08/25(土) 09:00:00
代数に関する話題全般のスレッドです。

代数学総合スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/
代数学総合スレッド Part2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/
代数学総合スレッド part3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1116279106/
0160１３２人目の素数さん2008/01/04(金) 19:35:00
昔ならいざ知らず、最近のしっかりした本なら理解不能な
書き方をした代数の本なんて無いはずだぞ。
英語が得意なのは素晴らしい。
しかし、普通の日本人（帰国子女とかの日本人もどきでない）で
日本語が不自由なやつは数学で業績を上げるのは難しいな。
母語以外で思考した方が高性能なんて脳はあり得ないからね。
数学のプロを目指すつもりなら諦めた方がいい。
そうでなければOK。逆に日本人なのに英語の方が得意とかで自慢になる。
0161１３２人目の素数さん2008/01/04(金) 19:40:25
あちらさんの教科書の方がフレンドリーな書き方の本が多いってことでないの？
0162１３２人目の素数さん2008/01/05(土) 15:31:50
Shafarebitch 買えよ
あ、Shafarevich か
0163１３２人目の素数さん2008/01/05(土) 15:35:58
>>156
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1195792678/l50
これに限る。
まだ代数系統は出版されていないが、これは分かり易い上に結構高度な事も書いてあるよ。
0164１３２人目の素数さん2008/01/05(土) 17:23:27
セコビッチ
0165１３２人目の素数さん2008/01/09(水) 00:06:15
>>156
特別な数学の才能がなければそうなるのが普通で心配することはない。

演習 群・環・体入門 新妻 弘　
親切な代数学演習―整数・群・環・体 加藤 明史

あたりを手を動かしながら繰り返せば抽象的概念が頭にしみこんでくるよ。
とにかく大切なのはおっくうがらずに手を動かすこと。
また重要な定理なんかは書き写して覚えてしまう。
さらに代数に限らないが、わからないことは徹底的に考え抜き、最後は人に聞く。
勉強が進んで、
代数演習 (数学演習ライブラリ) 横井 英夫

あたりが解けるようになると痺れるような代数ワールドが君を待ってるよ。
0166１３２人目の素数さん2008/01/09(水) 01:23:58
初めてこの世界の門をたたくのですが
桂利行の3部作を読もうかと思ってます。
（一冊分は安いし、薄いし）

東京大学の授業がもとだからいいかげんでもなかろと
期待しますが、質はどのようなものでしょうか？
0167１３２人目の素数さん2008/01/09(水) 03:13:01
Tate-shafarevich Teitelbaum!!
0168１３２人目の素数さん2008/01/09(水) 08:17:09
>166
全部目をとうしたわけでないが平均的
0169１３２人目の素数さん2008/01/09(水) 09:00:05
ここでいいかわかりませんが、これがわかりません。
ttp://www.uploda.org/uporg1194607.jpg

こんな風にするとｘがなんでも成り立ってしまうようになりました。
ttp://www.vipper.org/vip711011.jpg.html

なぜこうなるのか教えていただきたいのでお願いします。
01701692008/01/09(水) 09:06:07
>>169
すでに他スレに質問があったので取り下げます

分からない問題はここに書いてね２８２
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1197643961/
0171１３２人目の素数さん2008/01/09(水) 11:41:14
ｓAGEろカス
0172１３２人目の素数さん2008/01/09(水) 11:46:33
松坂の代数系入門は今でも入門として標準なのだから
とりあえず手元において講談代わりに毎日
半ページずつでも目を通すようにして欲しいと思う
0173１３２人目の素数さん2008/01/18(金) 20:38:27
>>166
>桂利行の3部作を読もうかと思ってます。
この本は分かりにくい事で有名。
01741662008/01/18(金) 20:58:18
>>173
本当ですか、それ？

ジュンク堂で座り読んだときには
なんか定義定理証明の流れが
分かりやすそうだったんだけど…

でも紙質は粗悪っぽかったな（笑）
0175１３２人目の素数さん2008/01/18(金) 21:26:54
あれがわかりにくいってｗ
猿でもわかるように書かれてるよ
0176１３２人目の素数さん2008/01/18(金) 21:58:04
僕は羊なのでわかりませんでした
0177１３２人目の素数さん2008/01/18(金) 22:11:42
たしか入門レベルに供さない証明はその旨ことわって
省かれてるんでしたよね
0178１３２人目の素数さん2008/01/18(金) 22:17:03
なんか代数って難しいイメージがあるので
手始めはこの本からでいいですかねえ
（それでも町は廻っているの主人公風に）
0179１３２人目の素数さん2008/01/18(金) 22:21:02
別にいいけど松坂の代数系入門とか桂の本とか読んで満足する人は代数は無理
0180１３２人目の素数さん2008/01/18(金) 23:16:36
別に学者になろうってんじゃないからイイもん

いきなり代数的整数論とか読めなくても
気をしっかりもって生きていけばイイもん
0181１３２人目の素数さん2008/01/18(金) 23:23:08
ガロア理論くらいが分かればOK
0182１３２人目の素数さん2008/01/18(金) 23:39:52
いい本紹介品
0183１３２人目の素数さん2008/01/18(金) 23:44:15
とりあえずただで読めるMilneのLecture Note読んどけ
0184１３２人目の素数さん2008/01/19(土) 00:05:16
Milne見るん？
0185１３２人目の素数さん2008/01/19(土) 12:14:45
まーた自分でもよー読めんくせに紹介する
0186１３２人目の素数さん2008/01/23(水) 14:17:44
コストパフォーマンスにこだわるなら
Ashのabstract algebra:
http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/
無料で読める。Milneは初心者では読めん。
0187１３２人目の素数さん2008/01/24(木) 23:45:46
位数が４５の群はアーベル群である、とはどう証明しますか？
0188１３２人目の素数さん2008/01/25(金) 17:02:27
>>187
http://www.akanekodou.mydns.jp/math/pdf/finite_group.pdf
19ページを見よ
0189１３２人目の素数さん2008/01/31(木) 13:44:20
※マンフォードは1974年受賞、広中は1970年受賞
↓106=146氏は何が言いたい？


105 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/01/22(火) 15:57:29
>>79
当時のハーバードって数学ではあまり有名ではなかった
Hironakaが学内初のフィールズ賞受賞者

106 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2008/01/22(火) 17:35:29
うそつけｗ

マンフオードもとっているｗ

146 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2008/01/23(水) 00:39:18
悔しいのおｗ
広中以外にも受賞者がいてｗ
0190１３２人目の素数さん2008/02/02(土) 18:51:40
Q[X,Y,Z]において、
I = (X^3 - 3X,
Y^3 - 3YZ^2 + Z^3 - 1,
3XY^2 - 3XZ^2 - 6YZ + 3Z^2 + 3,
3X^2Y - 6XZ - 3Y + 3Z)
は 極大イデアルであることを示せ。教えてください。よろしくお願いします。
0191１３２人目の素数さん2008/02/03(日) 10:13:03
>>190
sumathか。いい加減にしろよ。
極大イデアルでないから証明できない。
Ｉを含むQ[X,Y,Z]の極大イデアルはJ=(x,y+1,z+1)。
0192１３２人目の素数さん2008/02/06(水) 01:02:59
軌道（orbit）と固定化部分群（stabilizer）の概念を最初に
導入したのは誰でいつ頃の話ですか？
または、軌道（orbit）と固定化部分群（stabilizer）のネーミング
をしたのは？
群論の勉強では最初に感激したところなので知りたいのです。
0193１３２人目の素数さん2008/02/06(水) 02:03:53
こんな時間に質問すみません。
pを4で割ると3余る素数とし、
ｆ(x1,x2,x3,x4)=x1^2+x2^2-p(x3^2+x4^2)とおいたとき、
ｆ(x1,x2,x3,x4)=0は非自明な実数解を持つが、
非自明な2進数は持たないことを示せ(mod8で考える)。

x1^2とx2^2は片方偶、片方奇
x3^2とx4^2も同様だということはわかったのですが・・(虱潰し？)。
ヒント・解答をよろしくお願いします。
0194１３２人目の素数さん2008/02/06(水) 08:22:30
>>192

フロベニウス
0195１３２人目の素数さん2008/02/06(水) 11:56:31
初歩的な質問で申し訳ないのですが、
表現論という学問がありますが、群を行列で表現することで
どんなメリットがあるのでしょうか？
0196１３２人目の素数さん2008/02/06(水) 13:45:43
（１）トレースとか使えるので道具が増える
（２）見えるようになる
0197１３２人目の素数さん2008/02/06(水) 15:49:02
>>194
多謝
0198１３２人目の素数さん2008/02/06(水) 16:45:28
>>193
任意の実数は二進数で表される。
0199１３２人目の素数さん2008/02/06(水) 17:46:34
二進数表示じゃなくて、 Q を 2 で完備化した数のことか。
0200１３２人目の素数さん2008/02/06(水) 20:06:03
X^3 + X^2 + 1はF_2上既約かという問題の解き方が分かりません…
どうやるのでしょうか…？
0201１３２人目の素数さん2008/02/06(水) 21:14:35
>>200
3次なら因数定理
0202１３２人目の素数さん2008/02/06(水) 21:46:53
>200
自明とでも書いておけ、答えは既約だ。
0203１３２人目の素数さん2008/02/06(水) 23:26:54
0
1
をXに代入して、２で割り切れないことを確認する。

可約なら因子に１次式があり、それはXまたはX-1
ゆえに上記からあり得ない>>200
0204１３２人目の素数さん2008/02/07(木) 06:23:54
>>193
セールの数論講義に似た様な問題があったが、今手元にないので分からない。
0205１３２人目の素数さん2008/02/13(水) 22:16:02
花より因子
0206１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 07:44:08
初心者なので、教えてください。
a,bが代数的数なら、abとa+bも代数的数ですよね。
でも、これを証明するのは簡単なのですか？
どこかに簡単な証明あったら、教えてください。
0207１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 07:51:56
>>206
[Q(a+b):Q] ≦ [Q(a,b):Q] = [Q(a,b):Q(a)][Q(a):Q] ≦ [Q(b):Q][Q(a):Q] < ∞
積も一緒
0208１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 09:56:19
そういうこたえを聞いているじゃねえよ
馬鹿>>207
0209１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 10:59:05
>>207を書き下したのならお前が書けばいいじゃん
0210１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 11:58:12
>>206

a、bが代数的数であったとすると
xに関する有理係数方程式
x=a、x=b
から2つの方程式
2x=a+b、x^2=ab
が得られて
y=2x、z=x^2とおけば2つの有理係数方程式
y=a+b、z=ab
が得られるから
a+b、abも代数的数となる。　　終わり
0211１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 12:12:38
>>210 頭悪いんじゃないか？それで答えになっているつもりなのか？バカ
0212１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 12:22:13
>>211

馬鹿はお前じゃないか？
0213１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 13:03:51
間違っているから言っているんだよ
バカ
0214１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 13:13:26
>>213

ほう、ではどこがどのように間違っているのか指摘して。
0215１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 13:16:30
x=a、x=b
から2つの方程式
2x=a+b、x^2=ab

へへへ　滅茶苦茶じゃんｗ
低脳めｗ
0216１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 13:46:08
>>215

2つの等式x=a、x=bはあくまで方程式であって
解であることを保証している等式ではない。
即ち左辺のxは共に未知数だ。
そのような2つの等式が成立していることを仮定すれば
例の2つの方程式
2x=a+b、x^2=ab
は簡単に導けるじゃないか。
逆にこの段階でa=bを仮定しているから導けた方程式の解が
x=a=bに限ることを示す必要があるが
これも簡単に出来るだろ。
a、bが代数的数と仮定している限り何の問題もないだろ。
0217１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 13:57:14
どうやって？へへｗ

＞簡単に導けるじゃないか。
0218１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 13:58:03
もともと、そんなことじゃあ、答えになってないｗ
質問者はわからんから聞いているんだろ？簡単にがｗ
0219１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 13:59:03
２１６のような解答なら、大学の代数の試験では点数をもらえないね
0220１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 14:00:36
>>218

まさか、計算過程を書かせろというのではあるまいな。
0221１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 14:02:10
だからさ、その珍妙な解答は解答になっていない
大学で先生に見てもらえｗ
0222１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 14:02:59
方向的にそんなことでは解答にならんと言っているだよｗ
馬鹿はｗ
0223１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 14:03:58
どうやって？へへｗ

＞簡単に導けるじゃないか。
0224１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 14:06:29
おい　逃げたのか？
馬鹿の分際でこのスレで解答をつけるなよｗ
0225１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 14:44:24
おい216、バカ
0226１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 14:52:33
おい216、バカ
おい216、バカ
おい216、バカ
おい216、バカ
おい216、バカ
おい216、バカ
0227１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 15:58:06
しょうがないな。真面目に書くか。

a+b、abが共に代数的数ではないとする。
次数がn次の任意のモニックな有理多項式をf_{n}(x)とする。
すると任意のモニック有理多項式f_{n}に対して
f_{n}(a+b)=0ではなく　かつ　f_{n}(ab)=0　ではない。
n=1のとき。このとき任意のc∈Qに対して
a+b=cではなく　かつ　ab=cではない。
然るにa、bは共に代数的数であるからモニック有理多項式が
モニック1次式の積に分解されるあることに着目すればa、b
は共に或るモニック有理多項式の根である。
よってa+b、abは共に有理数である。
故に或るf_{1}(x)が存在して　　f_{1}(a+b)=0。
同じく或るf_{1}(x)が存在して　f_{1}(ab)=0。
今、n≧2であったとして
或るf_{n-1}(x)が存在して　f_{n-1}(a+b)=0　かつ　或るf_{n-1}(x)が存在して　f_{n-1}(ab)=0
であったとする。すると
或るf_{n}(x)が存在してf_{n}(a+b)=0　かつ　或るf_{n}(x)が存在してf_{n}(ab)=0。
nに関する帰納法により任意のnに関して
或るf_{n}(x)が存在してf_{n}(a+b)=0　かつ　或るf_{n}(x)が存在してf_{n}(ab)=0。
然るにこれは最初の仮定に反する。
従って背理法によりa+b、abは共に代数的数である。
0228１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 16:53:52
然るにa、bは共に代数的数であるからモニック有理多項式が
モニック1次式の積に分解されるあることに着目すればa、b
は共に或るモニック有理多項式の根である。

これってどうして？
0229１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 17:02:18
a+b、abが共に代数的数ではないとする。


。。。。。。


然るにこれは最初の仮定に反する。
従って背理法によりa+b、abは共に代数的数である。



あはは。。。論理的におかしい。
0230１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 17:04:27
おい216、バカ
おい216、バカ
おい216、バカ
おい216、バカ
おい216、バカ
おい216、バカ
0231１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 17:06:56
まじめに書いて、背理法もつかえねえのか>>227
0232１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 17:26:00
>>228

a、bを根に持つ1次のモニック有理多項式が存在する。


>>229
>>231

この場合f_{n}(x)を固定して考える必要はない。
n≧2のときの帰納法の仮定も背理法の仮定を用いて示した結論をもとにした仮定ではない。
つまり、背理法の仮定の影響は全くない。
0233１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 17:34:04
おいら代数のことはサッパリだけど、

(>227)
＞然るにa、bは共に代数的数であるからモニック有理多項式が
＞モニック1次式の積に分解されるあることに着目すれば

その「モニック1次式の積」を(x−c1)(x−c2)…(x−cn) とすると、
c1〜cnは もはや有理数とは限らないよね？だから

(>232)
＞a、bを根に持つ1次のモニック有理多項式が存在する。

これもおかしくね？
0234１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 17:34:12
228です。>>232
それって、a, bが有理数になるってことですよね？
a+bとabが有理数でなく、a, bが代数的数なら
a, bが有理数になるという主張なんですか（n=1)
0235１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 17:37:14
共に代数的数でないと仮定して矛盾が出たなら
（この部分の証明が間違いだが）、
少なくとも一つが代数的数であるという
結論しか出ないだろｗ>>227
0236１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 17:38:18
227は書けば書くほど、おかしなことを書いているな
0237１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 17:43:23
代数学ではふつーーそういう証明してないけどーーｗ
0238１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 17:44:51
>>235

本来だったらa+bとabが代数的数であることは独立に示すべきなのだが、
書くのが面倒だから同様な内容の推論を並行して書いただけ。


>>234

>a, bが代数的数ならa, bが有理数になるという主張なんですか（n=1)

これはa、bを根に持つ1次のモニック有理方程式の存在を仮定すれば導ける。
0239１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 17:47:44
227の証明にはどこにa,bが一次式の根になるって書いてありますか？
nはa+b, abについて、それが根にならない多項式の次数なんでしょ？
0240１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 17:48:59
>>238
ねえ、>233にも返答してよ。
0241１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 17:52:26
すげえ証明だな
めちゃくちゃだｗ
ネタなの？
0242１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 17:54:31
いったいnって何なんだ？どうとっているんだ？
0243１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 18:04:08
>>239

>a,bが一次式の根になるって書いてありますか？

このことは書き忘れました。


>>233

>その「モニック1次式の積」を(x−c1)(x−c2)…(x−cn) とすると、
>c1〜cnは もはや有理数とは限らないよね？

f_{n}(x)の式の形を具体的に書き下して推論はしていないから
>>227の場合には当てはまらない。

>＞a、bを根に持つ1次のモニック有理多項式が存在する。
>これもおかしくね？

例えばx-a、x-bは1次のモニック有理多項式。


ここでちょっと書くのは打ち切ります。
0244１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 18:10:10
>>241

並行した書き方で、そう見えるでしょう。
a+bが代数的数であることとabが代数的数であることを同時並行して書いてしまったので。

(一時中断。>>243に反して書いてしまったが。)
0245１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 18:18:43
＞例えばx-a、x-bは1次のモニック有理多項式。
あ？「有理多項式」ってのは、有理数係数の多項式のことではないのか？
(複素数)aが代数的数であることの定義は、有理数係数のある多項式f(x)が
存在して、f(a)＝0となるときを言う。これを踏まえた上で>227を読むと、

＞a+b、abが共に代数的数ではないとする。
＞次数がn次の任意のモニックな有理多項式をf_{n}(x)とする。
＞すると任意のモニック有理多項式f_{n}に対して
＞f_{n}(a+b)=0ではなく　かつ　f_{n}(ab)=0　ではない。

とあるから、君が言うところの「有理多項式」ってのは、有理数係数の
多項式のことなんでしょ？だとしたら、x−a、x−bは「有理多項式」とは
限らないよね(例：a＝√2など)。

君の言う「有理多項式」の定義を教えて。
0246１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 18:33:32
>>245

定義は「有理数係数の多項式のこと」でよい。
書き間違えたが、x-a、x-bではa、bを既に有理数と仮定してしまっていた。
c、dが有理数のときx-c、x-dは1次のモニック有理多項式になる。
これが挙げようとした例。
でa、bは共に代数的数。

(本当にもう一旦止める)
0247１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 18:41:53
＞定義は「有理数係数の多項式のこと」でよい。
ならば、もっと支離滅裂になる。>>228の質問に対し、君は>>232で

＞a、bを根に持つ1次のモニック有理多項式が存在する。

と返答している。しかし、a,bは代数的数であって、有理数とは限らないのだから、
a,bを根に持つ1次のモニックな「有理多項式」は存在するとは限らない。
0248１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 19:04:04
>>247

>>246の有理多項式の定義を書き間違えた。
「定数項を除く任意の次数の係数は有理数　かつ　定数項は複素数」
であるような多項式を有理多項式という。
>>246を書くときちょっと寝ぼけていた。

(ちょっと寝る)。
0249１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 19:16:47
書き間違えた。
>>248は無視して下さい。
当たり前過ぎて、すぐには>>232にこれ以上答えられない。

(少し寝る)。
0250１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 19:19:54
>>232ではなかった。>>228だった。
0251１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 20:05:24
なんかボロボロだなｗ
0252１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 20:06:24
いずれにせよ、証明できていないよｗ
0253１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 20:07:52
並行して書いてあろうとなかろうと証明になっていないお
0254１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 20:10:22
何で、代数的ということと、有限次拡大とを関連付けてやらないんだ？
0255１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 22:57:19
207にその方針の簡潔な証明がある．が，質問者には難しかったらしい．
0256１３２人目の素数さん2008/02/14(木) 23:10:19
ま、少なくとも249は初心者だな。
02572062008/02/15(金) 09:20:57
>>207

その証明はおそらく正しいと思うのですが、イメージがわきません。
Q(a)はQにaを添加してできる最小の体ですね。
Q(a)が体になるには、Q(a)の逆元(逆数)もQ(a)の元になるはずですが、そのへんがよく理解できません。aが√2などの簡単な例で説明されると分かるのですが、
aがべき根と四則演算で表せない場合、どうやってそれを理解すればいいのでしょうか？
0258１３２人目の素数さん2008/02/15(金) 10:04:07
>>257
何を聞いているのか理解できないんだけど．

> Q(a)はQにaを添加してできる最小の体ですね。
YES

> Q(a)が体になるには、Q(a)の逆元(逆数)もQ(a)の元になるはずですが、
> そのへんがよく理解できません。
「そのへん」とは？ Q(a) は a を含む最小の体だから 1/a も Q(a) の元．
これは定義から直ちに出ること．

> aが√2などの簡単な例で説明されると分かるのですが、
> aがべき根と四則演算で表せない場合、どうやってそれを理解すればいいのでしょうか？
それは代数的でない元を添加したということ？
0259１３２人目の素数さん2008/02/15(金) 10:24:41
おそらく正しいと思うのですが　もなにも、全く分かってないんじゃね？
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