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代数学総合スレッド Part4

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0001１３２人目の素数さん

2007/08/25(土) 09:00:00

代数に関する話題全般のスレッドです。

代数学総合スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/
代数学総合スレッド Part2
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1045779496/
代数学総合スレッド part3
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1116279106/

0002１３２人目の素数さん

2007/08/25(土) 09:02:00

。

0003１３２人目の素数さん

2007/08/25(土) 09:55:25

。

0004１３２人目の素数さん

2007/08/25(土) 12:27:36

メコスジ君総合スレッドPart69

0005にょにょ ◆yxpks8XH5Y

2007/08/25(土) 15:14:53

Cinco!

0006１３２人目の素数さん

2007/08/25(土) 15:54:28

1+2+3=6

0007（´・ω・`）

2007/08/26(日) 19:11:51

過疎でふね

0008１３２人目の素数さん

2007/08/29(水) 04:52:19

シャファレビッチ「代数学とはなにか」を頭から読もうとして撃沈

0009１３２人目の素数さん

2007/08/29(水) 17:53:33

>>8
パラパラと掻い摘んで読んで、断片的にイケるようになってから
通読に挑戦した方がいいよ？

0010１３２人目の素数さん

2007/08/29(水) 17:56:29

あれは、辞書みたいなものだからなあ。
結構いろんなところで他の場所の例とかを引き合いに出してたり
するので、頭から順番に読むタイプの本ではないし、読み物にも
あんまり向かないかな。

0011１３２人目の素数さん

2007/08/31(金) 15:20:22

雰囲気を感じる本だと前書きかなんかに書いてあったはず

0012１３２人目の素数さん

2007/09/28(金) 14:17:17

Fは体で、EはFの有限次の拡大体とする。このとき、拡大体E/Fの部分環は全て
部分体となることを示せ。
この問題が分からないのですが、どう考えればいいのでしょうか。

とりあえず、Eの部分環が部分体になる、ということは任意の部分環Sとかおいて
その任意の元が逆元を持つことが言えればいい、というのは分かるんですが。
ただ、通常の場合は体Eの部分環は、整域とはなるけど部分体とは必ずしもならない。
つまり、この問題では部分環が体Fを含んでいる、というあたりが鍵になっては
いそうな気がするけれど…イマイチ糸口がつかめません。

いっそのこと、代数的な場合はF(u)=F[u]とかで済ませてもいいのだろうか…。

長々とすみません。

0013１３２人目の素数さん

2007/10/01(月) 03:32:37

>>12
拡大体E/Fの部分環の意味がよくわからないんだけど。
Fを含むEの部分環のことを言うの？勝手にとったEの部分環Sが
Fを含むことがわかれば君の言うとおりでいいと思うけど。
F(u)=F[u]を使ったらダメなのかな？

E/Fが有限次拡大だから、Sの任意の元uはF上代数的。
よってF(u)=F[u]。
したがって、uが零元でない限り、uの逆元はF[u]に含まれる。
FはSに含まれていて、uはSの元だったから、
F[u]の意味から、F[u]はSの部分環。よって、uの逆元はSにある。

0014１３２人目の素数さん

2007/10/02(火) 10:50:37

余り本とかに書かれていないんだけど、
0^0って普通どういう扱いになるの。
0になるの。
それとも1になるの。

0015１３２人目の素数さん

2007/10/02(火) 11:13:10

>>14
x^y の極限の意味なら無条件には決定できない。
単に 0^0 と言って問題にするときは
この意味で言うことが多いだろう。

x^x や x^0 の極限の意味なら 1。
自分がどのような意味で言ってるかだ。

0016１３２人目の素数さん

2007/10/02(火) 11:26:20

>>14
あんまり知らないんだけど、
普通0^0は数としては定義されてないよ。
だけど極限値を考えれば1になる。
極限操作についての議論はそんなに簡単ではなかったと思う。

0017１３２人目の素数さん

2007/10/02(火) 11:27:48

>>14
解析スレ逝け

0018１３２人目の素数さん

2007/10/02(火) 11:49:04

>>15

>自分がどのような意味で言ってるかだ。

0を半群の零元、
1を半群の単位元とみなして
0^0を問題視することは出来ないの。
代数の本で0^0を扱っているのを
殆ど見掛けないんだけど。

0019１３２人目の素数さん

2007/10/02(火) 11:59:37

>>16
ダウト

>>18
そもそもそれ、定義できるの?
ベキとか

0020１３２人目の素数さん

2007/10/02(火) 12:12:24

>>19
半群の零元や単位元は定義される。
あと、冪も定義される。
ただ、その指数にマイナス（－）が
つくようなことがあってはならない。

しかし、半群の中で0^0がどういうものか
は全く分からない。

0021１３２人目の素数さん

2007/10/02(火) 12:15:08

>>18
整数環を乗法に関するモノイドと見たときとかのケースを言ってるんだよね。
ある元の右肩につくベキはその元を何回掛けるかという意味で使う。
零元には乗法に関する逆元がないから、0^0を考えなければならない
ケースはないんじゃないかな。

またダウト喰らうかな

0022１３２人目の素数さん

2007/10/02(火) 12:21:29

通じてない気もするが、仮に定義できたとして
設定が一般すぎて、何らかの値である必要性を
与える条件がそもそも足りないので、議論
するところまで行かないと思われ。

0023１３２人目の素数さん

2007/10/02(火) 12:27:57

半群とかを扱うなら、そもそもベキは、右作用もつ
という程度の意味に一般化されるはずジャン？

0024１３２人目の素数さん

2007/10/02(火) 13:00:05

>>23
単なるベキを作用と解釈するなんて、
話を難しくしてるだけのような気がするけど、
得する場合もあるのかな。
どういう集合が半群に作用してると考えるの？

0025１３２人目の素数さん

2007/10/02(火) 13:18:03

やっぱり通じてないのか。

単なるベキとやらを決める必然的な何かが、
無いじゃないかって話。特に 0^0 とかね。

0026１３２人目の素数さん

2007/10/02(火) 13:41:51

0027１３２人目の素数さん

2007/10/02(火) 13:47:46

>>25
なるほど。

って
>>22
でも思ったよ。

0028１３２人目の素数さん

2007/10/02(火) 14:28:07

>>25

否、意外に身近なところにある。
乗法だけが定義された半群Gを考えよう。
そしてGが零元0と単位元1を持つとしよう。

すると0^0∈Gと仮定すれば
0^0 = (00)^0 = (0^0)(0^0)
即ちXをX = 0^0とおけば
X^2 = X
という方程式が得られる。

しかし、
そもそもX∈Gなのかどうかが分からない。
そして仮にそうだとすると
半群は逆元を持たないため、
先の方程式の解はどうなるのか
すなわちX = 0、1は解なのか
という問題が生じる。
勿論、解がどのようになっても矛盾は生じない。

そのあたりが私には分からない。

0029１３２人目の素数さん

2007/10/02(火) 14:40:31

(00)^0=(0^0)(0^0)が成り立つかどうかはわからんな。

0030１３２人目の素数さん

2007/10/02(火) 14:48:21

>>29
Gはモノイドになるから成り立つ。

0031１３２人目の素数さん

2007/10/02(火) 14:52:23

>>28

必然性が身近にあると言って話しはじめた割に
内容は必然性ないって自分で言ってるんジャン。
馬鹿馬鹿しいね。

0032１３２人目の素数さん

2007/10/02(火) 15:06:01

>>32
勿論
普通の定義では0^0 = 1
だけど、
場合によっては
0^0 = 0
と仮定してもよい
のかも知れなくなる。

0033１３２人目の素数さん

2007/10/03(水) 00:31:59

>>30
なんで？

0034１３２人目の素数さん

2007/10/03(水) 01:52:52

>>33

>>28に書かれていることから、
Gは零元0を持つモノイドであって
0^0は ∈G という扱いで話を進めている。
即ち２つの0^0の間には
二項演算としての乗法が定義される。
また、モノイドの中では指数定理が成り立ち、
この場合モノイドの元の指数は非負整数であればよい。
そこで(00)^0に指数定理を適用すると = (0^0)(0^0) となる。

0035１３２人目の素数さん

2007/10/03(水) 01:54:58

0036１３２人目の素数さん

2007/10/03(水) 02:14:48

訂正：
>>28において、
Gには単なる乗法のみが定義された
半群としてではなく、
二項演算として加法も定義されているような
半群でなければならない。
この場合は零元0が加法の単位元となる。
つまり、Gは加法に関して
0を単位元とするモノイドとなる。

>>28では、このことを書き忘れていました。

0037１３２人目の素数さん

2007/10/03(水) 02:32:15

>>28です。

否、やはり>>36の仮定は不要です。
何故なら指数定理に現れる指数は
非負整数であってGの元である必要性がない
からです。
勿論、仮定しても差し支えはありません。

0038１３２人目の素数さん

2007/10/03(水) 05:42:14

>>28です。

>>15と同様に極限の意味で考えてみましたが、
同時に代数的に考えると何かよく分からないものがあります。
それに関して以下に述べます。

f、gを以下で定義された関数とする：
f:I∋x → x^0∈R、
g:I∋x → 0^x∈R。
ここにRは実数直線（実数体であり１つのモノイド）、I=[0、∞)は区間である。
Rの元0^0が定義されているとする。（普通の定義では0^0=1となる。）
そして0^0の取り得る値は0または1であるとする。
（0^0=1が偽と仮定して改めて0^0について議論する場合、そう仮定するのが自然でしょう。）

すると、fの極限に関して
x→0のときf(x)→1であって、lim_{x→0}f(x)=f(0)=0^0=1。
一方、gの極限g(0)が存在すると仮定すると、
任意のε>0に対して或るδ(ε)>0が定まって
|x|<δならば|g(x)|=|0^0|<ε
だから、0^0=0である。
然るにこれは0^0=1に反し矛盾する。
よってg(0)は存在しない。

モノイドで考えるとg(0)は存在しないことが以上のように示せるんですけど、これでいいですか。
解析的に示そうとすると途端に簡単ではなくなるんですけど。
g(0)が存在しなければさしあたっては何も問題は生じないと思いますが、
もし私の議論が間違っていてg(0)が存在した場合、例の0^0の議論が意味をなします。

そして、代数的に考えず解析的に考えるためのヒントを下さい。
g(0)の存在性は一目微積分で議論出来そうなんですけど、何か難しいです。
それともg(0)の存在性の議論には何か高度な解析的手法が必要なのですか。

0039１３２人目の素数さん

2007/10/03(水) 06:29:31

今の書き込みでは、
記号を用いてg(0)をa=g(0)
と表すべきでした。
その方が書き込みが簡単ですし、
分かり易いと思います。

0040１３２人目の素数さん

2007/10/03(水) 06:34:57

更に0^0も記号を用いて
y=0^0のように表すべきでした。
何か>>38の書き込みは
下書きのようです。
失礼しました。

0041１３２人目の素数さん

2007/10/03(水) 15:49:28

>>38
実数体Rをモノイドと見なしたときの、
ベキの解釈はどうなってるんですか？
何故ベキのところに実数がくるのかということです。
実数でないと極限をとることはできませんが…。

こういう議論をすることに必要性がなく、
あまり意味がないという意見があるけど、
まあ疑問に思ったこと自体が、
モチベーションなっているんだからいいんじゃないかな。

0042１３２人目の素数さん

2007/10/04(木) 02:49:36

>>41

>>38です。
I=[0、∞)と表します。
実数体RやI⊆Rは
乗法に関して実数１を単位元とするモノイドであり
かつこれらのモノイドは一意的に定まります。
逆にモノイドは体や区間とは限りません。
即ちモノイドが実数体や区間とは限りません。
一方、Rは同時に実数直線を表します。
そのため実変数xを
実数直線の中で走らせて考えることは
実数体（やI）の中で動かして考えることと同一視出来ます。
とりわけIは実数直線に含まれる区間とみなされる
と同時に
実数体に含まれるモノイドと見なせます。
即ち実変数xを
区間としてのIの中で走らせて考えることと
モノイドとしてのIの中で動かして考えること
とは同一視出来ます。

そのような考えに基づいて書いたのが>>38です。
>>38は本当に杜撰な書き方です。

以上で回答になっていると思いますが、
誤解していた場合はお許し下さい。

0043１３２人目の素数さん

2007/10/04(木) 04:30:07

>>41
多分あなたは、必然とか必要とかここで言われている意味を
かんちがいしてるよ。

ウィキペのベキ乗の項目をみるとヒントになるかも。
代数的な条件だけでは、弱すぎるんだよ。
2変数連続函数と見るというのは、位相的性質だが
この条件はある意味で強すぎる。

0044１３２人目の素数さん

2007/10/04(木) 10:51:40

>>42
>>43
わかりました。
ご回答ありがとうございました。

0045１３２人目の素数さん

2007/10/04(木) 15:03:14

>>30
なんというか、間違ってる。そこは
[G の任意の元 x に対して x^1 = x] かつ[自然数半群 N が自己準同型として作用する]
と仮定した場合を考えているから成立する。
G がモノイドのとき x^0 = 1_G, 群のとき x^(-1) は x の逆元
とするようなことも（モノイドや群としての）準同型性を仮定しているからで、
それを外すと、途端に取りとめもない話になる。
代数的にまとめて論じられるのはこの自然数冪、整数冪のときぐらい。
G と N との間には大して関係が無いので、こうやって (0_G)^0 = 1 と仮定することと、
もとの話の 0^0 の値は何であることが必然かということとの関係は論じられない。

>>38-41
冪を X を台にして X × Y → X; (x, y) → x^y という写像だと考えるとき、X と Y は分けて
考える必要があって、そこで Y = N, Z, Q, R と拡大していくことを考えると、
有理数冪 x^q を考えるには、考えている台集合 X が小さすぎても
大きすぎても不都合が起きる。冪根が X の中にどれくらいあるか、
足りなくてもダメだし、多過ぎると分岐してしまうから困るというわけ。

もし有理数冪が定義できるときは、実数体 R が有理数体 Q の完備化である
という位相的な性質があるおかげで、冪指数に関する連続性を仮定すれば
実数冪は有理数冪の極限として出てくる。
連続性を仮定しないなら（Hamel basis の分だけ）無限に可能性が
増えてどうにもならない。
しかしいずれにせよ、Y = N や Y = Z のときの拡張になっているものと
考える限りは、x^0 = 1 を仮定していることになるので、0^0 = 1 になる。
いまは X については何も考えてないからこういう結論になる。

一般論として簡単に言えるのはここまでだろう。もし具体的な X に対して
その性質を使って議論しようとするなら、X が十分大きくなると矛盾が生じる
というのが R × R → R; (x,y) → x^y が二変数の連続関数と仮定したときなどに
出てくることになるね。まあ、至る所不連続でいいなら病的な定義ができそうだけど。

0046１３２人目の素数さん

2007/10/04(木) 18:52:58

0047１３２人目の素数さん

2007/10/04(木) 18:53:37

0048１３２人目の素数さん

2007/10/04(木) 21:32:24

>>45

>>30 = >>38です。
モノイドの場合、
ベキ乗は準同型の値として
扱わなければならないのですか.....。
半群の中での場合と同様に扱えると思ったのですが.....。
モノイドの中で0^0=1は確かに定義ですね。
そして、モノイドの場合
ベキ乗はその準同型に伴って定義されますね。
分かりました。
このようなことがあるなら
私の主張は意味を成さなくなりますね。

ご指摘どうもありがとうございました。

0049１３２人目の素数さん

2007/10/04(木) 21:59:59

モノイドの議論は
http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1114171676/
で

0050１３２人目の素数さん

2007/10/04(木) 22:00:30

>>48
> ベキ乗は準同型の値として
> 扱わなければならないのですか.....。

多分まだ勘違いしてるんじゃないか？半群のときもモノイドのときも同じだよ。

M が半群であるときには、1 → id_M なる対応から生成される
表現 ρ: N → T(M) (T(M) は M 上の全変換半群) を考えるのが
“自然”（関手的）で、我々は普段ソレを冪乗と呼んでいる
というだけで、そう「扱わなければいけない」のではないよ。

つまり、x^1 = x や x^0 = 1 とおくようなことは、便宜上の規約。

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