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代数学総合スレッド Part4

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0001１３２人目の素数さん2007/08/25(土) 09:00:00
代数に関する話題全般のスレッドです。

代数学総合スレッド
http://science.2ch.net/test/read.cgi/math/1011536232/
代数学総合スレッド Part2
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0002１３２人目の素数さん2007/08/25(土) 09:02:00
。
0003１３２人目の素数さん2007/08/25(土) 09:55:25
。
0004１３２人目の素数さん2007/08/25(土) 12:27:36
メコスジ君総合スレッドPart69
0005にょにょ ◆yxpks8XH5Y 2007/08/25(土) 15:14:53
Cinco!
0006１３２人目の素数さん2007/08/25(土) 15:54:28
1+2+3=6
0007（´・ω・`） 2007/08/26(日) 19:11:51
過疎でふね
0008１３２人目の素数さん2007/08/29(水) 04:52:19
シャファレビッチ「代数学とはなにか」を頭から読もうとして撃沈
0009１３２人目の素数さん2007/08/29(水) 17:53:33
>>8
パラパラと掻い摘んで読んで、断片的にイケるようになってから
通読に挑戦した方がいいよ？
0010１３２人目の素数さん2007/08/29(水) 17:56:29
あれは、辞書みたいなものだからなあ。
結構いろんなところで他の場所の例とかを引き合いに出してたり
するので、頭から順番に読むタイプの本ではないし、読み物にも
あんまり向かないかな。
0011１３２人目の素数さん2007/08/31(金) 15:20:22
雰囲気を感じる本だと前書きかなんかに書いてあったはず
0012１３２人目の素数さん2007/09/28(金) 14:17:17
Fは体で、EはFの有限次の拡大体とする。このとき、拡大体E/Fの部分環は全て
部分体となることを示せ。
この問題が分からないのですが、どう考えればいいのでしょうか。

とりあえず、Eの部分環が部分体になる、ということは任意の部分環Sとかおいて
その任意の元が逆元を持つことが言えればいい、というのは分かるんですが。
ただ、通常の場合は体Eの部分環は、整域とはなるけど部分体とは必ずしもならない。
つまり、この問題では部分環が体Fを含んでいる、というあたりが鍵になっては
いそうな気がするけれど…イマイチ糸口がつかめません。

いっそのこと、代数的な場合はF(u)=F[u]とかで済ませてもいいのだろうか…。

長々とすみません。
0013１３２人目の素数さん2007/10/01(月) 03:32:37
>>12
拡大体E/Fの部分環の意味がよくわからないんだけど。
Fを含むEの部分環のことを言うの？勝手にとったEの部分環Sが
Fを含むことがわかれば君の言うとおりでいいと思うけど。
F(u)=F[u]を使ったらダメなのかな？

E/Fが有限次拡大だから、Sの任意の元uはF上代数的。
よってF(u)=F[u]。
したがって、uが零元でない限り、uの逆元はF[u]に含まれる。
FはSに含まれていて、uはSの元だったから、
F[u]の意味から、F[u]はSの部分環。よって、uの逆元はSにある。

0014１３２人目の素数さん2007/10/02(火) 10:50:37
余り本とかに書かれていないんだけど、
0^0って普通どういう扱いになるの。
0になるの。
それとも1になるの。
0015１３２人目の素数さん2007/10/02(火) 11:13:10
>>14
x^y の極限の意味なら無条件には決定できない。
単に 0^0 と言って問題にするときは
この意味で言うことが多いだろう。

x^x や x^0 の極限の意味なら 1。
自分がどのような意味で言ってるかだ。
0016１３２人目の素数さん2007/10/02(火) 11:26:20
>>14
あんまり知らないんだけど、
普通0^0は数としては定義されてないよ。
だけど極限値を考えれば1になる。
極限操作についての議論はそんなに簡単ではなかったと思う。
0017１３２人目の素数さん2007/10/02(火) 11:27:48
>>14
解析スレ逝け
0018１３２人目の素数さん2007/10/02(火) 11:49:04
>>15

>自分がどのような意味で言ってるかだ。

0を半群の零元、
1を半群の単位元とみなして
0^0を問題視することは出来ないの。
代数の本で0^0を扱っているのを
殆ど見掛けないんだけど。
0019１３２人目の素数さん2007/10/02(火) 11:59:37
>>16
ダウト

>>18
そもそもそれ、定義できるの?
ベキとか
0020１３２人目の素数さん2007/10/02(火) 12:12:24
>>19
半群の零元や単位元は定義される。
あと、冪も定義される。
ただ、その指数にマイナス（−）が
つくようなことがあってはならない。

しかし、半群の中で0^0がどういうものか
は全く分からない。
0021１３２人目の素数さん2007/10/02(火) 12:15:08
>>18
整数環を乗法に関するモノイドと見たときとかのケースを言ってるんだよね。
ある元の右肩につくベキはその元を何回掛けるかという意味で使う。
零元には乗法に関する逆元がないから、0^0を考えなければならない
ケースはないんじゃないかな。

またダウト喰らうかな
0022１３２人目の素数さん2007/10/02(火) 12:21:29
通じてない気もするが、仮に定義できたとして
設定が一般すぎて、何らかの値である必要性を
与える条件がそもそも足りないので、議論
するところまで行かないと思われ。
0023１３２人目の素数さん2007/10/02(火) 12:27:57
半群とかを扱うなら、そもそもベキは、右作用もつ
という程度の意味に一般化されるはずジャン？
0024１３２人目の素数さん2007/10/02(火) 13:00:05
>>23
単なるベキを作用と解釈するなんて、
話を難しくしてるだけのような気がするけど、
得する場合もあるのかな。
どういう集合が半群に作用してると考えるの？
0025１３２人目の素数さん2007/10/02(火) 13:18:03
やっぱり通じてないのか。

単なるベキとやらを決める必然的な何かが、
無いじゃないかって話。特に 0^0 とかね。
0026１３２人目の素数さん2007/10/02(火) 13:41:51
　
0027１３２人目の素数さん2007/10/02(火) 13:47:46
>>25
なるほど。

って
>>22
でも思ったよ。
0028１３２人目の素数さん2007/10/02(火) 14:28:07
>>25

否、意外に身近なところにある。
乗法だけが定義された半群Gを考えよう。
そしてGが零元0と単位元1を持つとしよう。

すると0^0∈Gと仮定すれば
0^0 = (00)^0 = (0^0)(0^0)
即ちXをX = 0^0とおけば
X^2 = X
という方程式が得られる。

しかし、
そもそもX∈Gなのかどうかが分からない。
そして仮にそうだとすると
半群は逆元を持たないため、
先の方程式の解はどうなるのか
すなわちX = 0、1は解なのか
という問題が生じる。
勿論、解がどのようになっても矛盾は生じない。

そのあたりが私には分からない。
0029１３２人目の素数さん2007/10/02(火) 14:40:31
(00)^0=(0^0)(0^0)が成り立つかどうかはわからんな。
0030１３２人目の素数さん2007/10/02(火) 14:48:21
>>29
Gはモノイドになるから成り立つ。
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