命題
(X, Φ, μ) を 測度空間(>>317) とする。
E(Φ) (>>377) から [0, +∞] への写像 ψ で
任意の M ∈ Φ に対して ψ(χ_M) = μ(M) となるものが
一意に存在する。

証明
f = Σ(a_i)χ_(M_i) を E(Φ) の元とする。

>>376 より、互いに交わらない N_1, . . ., N_m ∈ Φ があり、
各 M_i はいくつかの N_j の合併となる。

よって、χ_(M_i) = Σb_(i,j)χ_(N_j) と書ける。
ここで、b_(i,j) は 0 または 1 である。
よって、
Σ(a_i)χ_(M_i) = Σ(a_i)b_(i,j)χ_(N_j)

c_j = Σ(a_i)(c_(i, j)) とおけば、
Σ(a_i)χ_(M_i) = Σ(c_j)χ_(N_j)
よって、x ∈ N_j のとき f(x) = c_j である。
即ち、各 c_j は f により一意に決まる。

他方、χ_(M_i) = Σb_(i,j)χ_(N_j) だから
μ(M_i) = Σb_(i,j)μ(N_j)

よって
Σ(a_i)μ(M_i) = Σ(a_i)b_(i,j)μ(N_j) = Σ(c_j)μ(N_j)

よって、Σ(a_i)μ(M_i) は f により一意に決まる。
ψ(f) = Σ(a_i)μ(M_i) とおけばよい。
証明終