定理(Lebesgue の項別積分定理)
(X, Φ, μ) を測度空間(>>317)とする。
(f_n), n ≧ 0 を可測関数の列とし、ψ ≧ 0 は積分可能で、
X の各点 x と各 n で |f_n(x)| ≦ ψ(x) とし、
X の各点 x で lim f_n(x) が存在するとする。

f_n、lim f_n は積分可能で、

lim ∫[X] f_n dμ = ∫[X] (lim f_n) dμ

証明
X の各点 x で lim f_n(x) が存在するから、
lim f_n = lim inf f_n = lim sup f_n

>>552 より、
lim ∫[X] f_n dμ = ∫[X] (lim f_n) dμ

証明終