>>366

有難うございます。
大変、勉強になりました。

なお、蛇足かもしれませんが次の補題を書いておきます。
g_n を M で 0, X - M で f_n と一致する関数とすれば、
g_n は、この補題により可測になります。
lim f_n を >>351 のように定義すれば、
lim g_n = lim f_n となり、lim f_n は可測になります。

補題
(X, Φ) を可測空間とし、f : X → [-∞, +∞] を可測関数とする。
A ∈ Φ とし、写像 g : X → [-∞, +∞] を次のように定義する。

x ∈ A のとき g(x) = 0
x ∈ X - A のとき g(x) = f(x)

このとき g は可測である。

証明
S(g) ⊂ X - A だから、S(g) = S(f) - A ∈ Φ

U を [-∞, +∞] の開集合とする。
S(g) 上では f = g だから、
S(g) ∩ {x ; g^(-1)(U) } = S(g) ∩ {x ; f^(-1)(U)}

>>273 より、この右辺は可測である。
よって、>>213 より g は可測である。
証明終