命題
(X, Φ, μ) を測度空間とする。

A と B を X の(可測とは限らない)任意の集合とする。

A△B (>>191)がμに関する零集合(>>328)に含まれるとき

A 〜 B (μ) または A 〜 B と書く。
A 〜 B (μ) は同値関係である。

証明
1) A 〜 A は明らかである。

2) A 〜 B なら B 〜 A も明らかである。

3) A 〜 B かつ B 〜 C とする。
A 〜 C を示せばよい。

A△B ⊂ N
B△C ⊂ M
となる零集合 N と M がある。
即ち、
(A - B) ∪ (B - A) ⊂ N
(B - C) ∪ (C - B) ⊂ M

A - C ⊂ (A - B) ∪ (B - C) ⊂ N ∪ M
C - A ⊂ (C - B) ∪ (B - A) ⊂ N ∪ M

よって、A△C = (A - C) ∪ (C - A) ⊂ N ∪ M
>>330 より N ∪ M は零集合である。即ち、A 〜 C
証明終