G を距離付け可能なアーベル群(>>112)とする。
>>114 より G の一様構造は不変距離 d により定義される。

|x| = d(0, x) と書く。

|x| = 0 なら d(0, x) = 0 だから x = 0 である。

|-x| = d(0, -x) = d(x, x - x) = d(x, 0) = |x|

|x + y| = d(0, x + y) ≦ d(0, x) + d(x, x + y)
= d(0, x) + d(0, x + y - x) = d(0, x) + d(0, y) = |x| + |y|

以上から | | は次の３条件を満たす。

1) |x| = 0 と x = 0 は同値である。

2) 任意の x ∈ G に対して、|-x| = |x|

3) 任意の x, y ∈ G に対して、|x + y| ≦ |x| + |y|