質問者が極限を習い始めたばかりの人と仮定して話します。
x→0でsin(3x)→0だからsin(3x)/3xは0/0の不定形で、これだけみてても値が存在するかどうかはわからないのだが、結論としては存在して、ある値に収束する。「ある値」は教科書に書いてあるはず。
このことをちゃんと示すにはもっと高度な内容が必要だが、理由は抜きにして天下り的に使えばいろんなことがわかるので、そういうもんだと思ってくれという風にカリキュラムが組まれることが普通。