>>850

z軸の正方向から見た図を想像できますでしょうか。
線分AB：x+y=1 の一部
なので、
平面π：y=x+c (-1≦c≦1)
になります。

曲面Dは明らかにy=xに対して対称な図形であることもわかると思います。
なので、-1≦c≦0の範囲で考えて、体積を求めるときは2倍することにします。
X軸は、平面πとxy平面の交線
Y軸は、平面πとxz平面の交線

Z軸は、これらと垂直な方向、つまり平面πが動く方向におきます。(体積を積分するための軸です)
ここで、点Cや原点と交点をもつときをZ=0とおき、
点Aと交点をもつときを正方向とすると、点AをとおるときのZの値は1/√2になります。

a = 1/√2 - Z とおくと、
平面πと曲面Dの交線は、XY=1を平行移動させて(a,0)、(0,a)を通るようにすればいいので、
Y = 1/(X-a) + a
となります。
求める体積は、
V = 2∫[0,1/√2]∫[0,a](1/(X-a) + a)dXdZ
になります。
以下、計算すると、（検算お願いします）
V = 2∫[0,1/√2](a^2 - ln(a) + 1)dZ
= 2∫[0,1/√2](a^2 - ln(a) + 1)da
= √2 /6 (13 + 3ln2)