>>645
>>655
どうして交点のx座標はy1･y2になるんですか?
↓
交点のx座標がy1･y2になることを示せ
という問題だとします。

なお、接点の座標は、計算式の表現に誤解を与えやすいので、
(a^2, a) (b^2, b) 　と置きます。
ただし、-1 < a,b < 1・・・・・・① とする。

それぞれの接線は、
x = 2a(y-a) + a^2 = 2ay - a^2　・・・・・・②
x = 2b(y-b) + b^2 = 2by - b^2　・・・・・・③
②の方向ベクトル(2a,1)、③の方向ベクトル(2b,1)なので、
②、③が直行する⇔(2a,1)と(2b,1)の内積が0⇔ab= -1/4 ・・・・・・④

一方、②、③の交点を(X,Y)とすると、X,Yは、②、③のx,yをX,Yと置き換えたときの連立方程式の解である。
接点は２つ別々の点を選んでいるから、a≠bであることに注意すると、
X = ab　・・・・・・⑤
Y = (a+b)/2　・・・・・・⑥
となる。
⑤は題意そのもの。


※④、⑤から、交点のX座標は　-1/4　で一定になることがわかります。
さらに、①の条件をみたすときの交点の軌跡を求める場合は、④～⑥より、
XはX=-1/4になりますが、Yは、t^2 -2Yt -1/4 = 0　が -1 < t < 1 に2つの異なる実数解を持つことから絞込みます。

※接線同士が角度θをなす場合は、④が 4ab+1 = cosθ * (4a^2 +1)^(1/2) * (4b^2 +1)^(1/2) になりますが、
⑤、⑥は変わらず成り立つので、⑤は成立するといえます。