命題
A を Banach 代数(>>748)とする。
ψ : A → C を連続線形写像とする。

x ∈ A を任意にとり固定する。
f(λ) = ψ(1/(x - λ)) は A - σ(x) で定義される。

f(λ) は正則関数である。
さらに λ → ∞ のとき f(λ) → 0 である。

証明
>>747 において x を x - λ に置き換え、h を λ - μ に
置き換えると
|1/(x - μ) - 1/(x - λ) + (λ - μ)/(x - λ)^2)| ≦ C|μ - λ|^2

ここで C は x と λ のみで決まる定数である。
μ は λ に十分小さい複素数である。

μ → λ のとき
(1/(x - μ) - 1/(x - λ))/(μ - λ) → 1/(x - λ)^2

よって、μ → λ のとき
ψ((1/(x - μ) - 1/(x - λ))/(μ - λ)) → ψ(1/(x - λ)^2)
即ち、μ → λ のとき
(f(μ) - f(λ))/(μ - λ) → ψ(1/(x - λ)^2)
従って f(λ) は A - σ(x) で正則である。

λf(λ) = ψ(λ/(x - λ)) = ψ(1/(x/λ - 1))
>>742 より、G において x → 1/x は連続だから
λ → ∞ のとき λf(λ) → ψ(-1) である。
よって、λ → ∞ のとき f(λ) → 0 である。
証明終