命題
K を可換とは限らない体とする。
φ を K の自明でない絶対値(>>414)とする。
E を K-左加群とし、p を E のノルム(>>561)とする。
E は K-位相加群(>>372)である。

証明
x, y を E の任意の元とする。
d(x, y) = p(x - y) は E の距離である。
この距離により E に一様構造(>>194)を入れる(>>199)。
x, y, u, v を E の任意の元とする。
任意の ε ＞ 0 に対して、
p(x - u) ＜ ε/2, p(y - v) ＜ ε/2 のとき
p(x + y - (u + v)) ≦ p(x - a) + p(y - b) ＜ ε
従って写像 f(x, y) = x + y は E×E → E の連続写像である。

任意の ε ＞ 0 に対して、p(x - u) ＜ ε のとき
p(-x - (-u)) = p(-(x - u)) = p(x - u) ＜ ε
従って写像 g(x) = -x は E → E の連続写像である。

α、β を K の元、x, y を E の元とする。
任意の ε ＞ 0 に対して、
δ ＞ 0 を δ ＜ min(1, ε/(1 + φ(β) + p(y))) とする。
δ ＜ 1 だから δ^2 ＜ δ ＜ ε/(1 + φ(β) + p(y))

p(α - β) ＜ δ, p(x - y) ＜ δ のとき
p(αx - βy) = p((α - β)(x - y) + (α - β)y + β(x - y))
≦ φ(α - β)p(x - y) + φ(α - β)p(y) + φ(β)p(x - y)|
≦ δ^2 + δp(y) + φ(β)δ ＜ δ(1 + φ(β) + p(y)) ＜ ε

従って写像 h(α, x) = αx は K×E → E の連続写像である。
証明終