命題
K を可換とは限らない体とする。
φ を K の離散的絶対値(>>483)とする。
K は φ で完備とする。
A, m(A) をそれぞれ φ の付値環、極大イデアルとする。

A/m(A) が有限体なら A はコンパクトであり、
K は局所コンパクトである。

証明
>>553 より A は全有界である。
A は K の閉集合だから >>250 より完備である。

従って >>316 より A は準コンパクトである。
A はハウスドルフだからコンパクトである。

m(A) は K の開集合で 0 を含む。
m(A) ⊂ A だから A は 0 のコンパクト近傍である。
従って K の任意の元 x に対して x + A は x のコンパクト近傍である。
即ち K は局所コンパクトである。
証明終