命題
K を可換とは限らない体とする。
φ を K の離散的絶対値(>>483)とする。
A, m(A) をそれぞれ φ の付値環、極大イデアルとする。
A/m(A) が有限体なら
任意の有理整数 n ≧ 0 に対して A/m(A)^n は有限環である。

証明
>>506 より φ には K の実付値(>>496) ν が対応する。
ν は離散付値(>>497) である。
π を ν の素元(>>501)とする。
>>502 より m(A) = Aπ, m(A)^n = A(π^n) である。

A のアーベル群としての部分群の列を考える。

A ⊃ Aπ ⊃ . . . A(π^n) ⊃ . . .

x ∈ A に x(π^n) を対応させる写像は
A/Aπ から A(π^n)/A(π^(n+1)) へのアーベル群としての同型を
引起こす。

従って A/A(π^n) は有限アーベル群である。
A/A(π^n) は環でもあるから有限環である。
証明終