補題
K を可換とは限らない体とする。
|x| を K の非アルキメデス的(>>448)な絶対値とする。

|x| ≦ 1 となる K の全ての元 x に対して |1 + x| ≦ 1 となる。

証明
任意の有理整数 n ＞ 0 に対して |n・1| ≦ M とする。

x を K の元で |x| ≦ 1 とする。

1 と x は K の乗法で可換だから二項定理より
(1 + x)^n = 1 + nx + . . . + x^n

よって
|1 + x|^n ≦ (n + 1)M
よって
|1 + x| ≦ ((n + 1)M)^(1/n)

n → ∞ のとき ((n + 1)M)^(1/n) → 1 だから
|1 + x| ≦ 1
証明終