D ＞ 0 を平方数でない有理整数で、D ≡ 0, 1 (mod 4) とする。

f = ax^2 + bxy + cy^2 を判別式 D の原始的な２次形式で
a ＞ 0 とする。

R を実２次体 Q(√D) の判別式 D の整環とする。
R = [1, (D + √D)/2] である(過去スレ４の585)。

ax^2 + bxy + cy^2 は原始的だから、過去スレ４の592より
I = [a, (-b + √D)/2] は R の可逆イデアルである。

α = a
β = (-b + √D)/2
とおく。

-Δ(α, β) = a(-b + √D)/2 - a(-b - √D)/2 = a√D ＞ 0
だから I の基底 a, (-b + √D)/2 の向き(過去スレ５の188)は正である。

過去スレ５の251より f(x, y) = N(xα - yβ)/N(I) である。

m ≠ 0 を有理整数で m = f(x, y), m = f(x', y') となる
(x, y) ∈ Z^2 と (x', y') ∈ Z^2 があるとする。

N(xα - yβ)/N(I) = N(x'α - y'β)/N(I) = m であるから
N(xα - yβ) = N(x'α - y'β) である。

λ = xα - yβ, μ = x'α - y'β とおけば
N(λ) = N(μ) である。

m ≠ 0 だから λ ≠ 0, μ ≠ 0 である。