定理(分離位相環の完備化)
A を分離位相環とする。
分離かつ完備な位相環 Ω と A から Ω への連続準同型 φ で
次の性質をもつものが存在する。

1) φ は A から φ(A) への位相環としての同型を引き起こす。

2) A から分離かつ完備な位相環 B への連続準同型
f : A → B に対し、連続準同型 g: Ω → B で
f = gφ となるものが一意に存在する。

証明
Ω として >>368 の Ω を取る。
1) は明らかである。

φ により A と φ(A) を同一視する。

f を A から分離かつ完備な位相環 B への連続準同型とする。
>>354 より位相アーベル群としての連続準同型 g: Ω → B で
f = gφ となるものが一意に存在する。
等式延長の原理により g(xy) = g(x)g(y) となる。
従って g は位相環としての連続準同型である。
これで 2) が証明された。
証明終