命題
A を位相環とする。
Φ と Ψ をそれぞれ A の Cauchy フィルターの基底とする。
f : A×A → A を f(x, y) = xy により定義する。

f(Φ, Ψ) は Cauchy フィルターの基底である。

証明
写像 f(x, y) は連続だから
A の 0 の任意の近傍 W に対して U^2 ⊂ W となる 0 の近傍 U がある。
M ∈ Φ と N ∈ Ψ を U 程度に小さい集合とする。

x_1 ∈ M
y_1 ∈ N
を任意に取る。

写像 x → xy_1 と写像 y → x_1y は連続だから
V ⊂ U があり x' - x ∈ V なら (x' - x)y_1 ∈ W
y' - y ∈ V なら x_1(y' - y) ∈ W
となる。

M' を V 程度に小さい集合で M' ⊂ M かつ M' ∈ Φ とする。
N' を V 程度に小さい集合で N' ⊂ N かつ N' ∈ Ψ とする。

x, x' ∈ M'
y, y' ∈ N' のとき

x'y' - xy = (x' - x)y_1 + x_1(y' - y)
+ (x' - x)(y' - y_1) + (x - x_1)(y' - y) ∈ W + W + W + W
即ち M'N' は 4W 程度に小さい。
従って f(Φ, Ψ) は Cauchy フィルターの基底である。
証明終