G を分離位相アーベル群とする。

>>200 より G は分離一様空間である。
G の分離完備化(>>288)を Ω とし、φ : G → Ω を標準写像とする。
G は分離的だから φ により G と φ(G) は同一視出来る(>>293)。

写像 x + y は連続準同型 f: G×G → G である。
>>351 より f は一様連続である。
一様連続写像の延長定理(>>272)により f は α : Ω×Ω → Ω に
一意に拡張出来る。
即ち Ω の元 x, y に対して α(x, y) を x + y と書く。

Ω×Ω×Ω → Ω を (x, y, z) に (x + y) + z を対応させる
写像とする。
Ω×Ω×Ω → Ω を (x, y, z) に x + (y + z) を対応させる
写像とする。
この二つの写像は G×G×G で一致する。
等式延長の原理(>>265)よりこの二つの写像一致する。
即ち Ω の元 x, y, z に対して (x + y) + z = x + (y + z) となる。
同様に x + y = y + x が出る。
同様に x + 0 = x である。

写像 -x は連続準同型 g: G → G である。
>>351 より g は一様連続である。
一様連続写像の延長定理(>>272)により g は β : Ω → Ω に
一意に拡張出来る。

即ち Ω の元 x に対して β(x) を -x と書く。

x + (-x) = 0 が上と同様に出る。

以上から Ω は位相アーベル群になる。