命題
X を一様空間とし、Y をその密な部分空間とする。
Y の任意の Cauchy フィルターが X で収束するなら
X は完備である。

証明
X の任意の極小 Cauchy フィルター Φ が収束することを言えばよい。

>>262 より Φ の任意の元 M の内部は空でない。
従って、Φ の元と Y の交わり全体 Φ|Y は Y における
Cauchy フィルターの基底となる。

仮定より Φ|Y は X の点 x に収束する。
Φ|Y が X で生成するフィルターは Φ より細かく x を極限点に持つ。
>>141 より Φ は x を接触点に持つ。
>>248 より Φ は x に収束する。
証明終