命題(>>28 の一般化)
G を分離的(>>73)な位相アーベル群とする。
I を(可算とは限らない)任意の集合とする。
(x_i), i ∈ I を I を添字集合とする G の元の族とする。
K を集合として、φ : K → I を同型、即ち全単射とする。
族 (x_i) が総和可能(>>147) なら 族 (x_φ(k))) も総和可能であり、
Σx_i = Σx_φ(k) となる。

証明
S = Σx_i とする。
I の有限部分集合全体の集合を Φ(I) とする。
J ∈ Φ(I) に対して S(J) = Σx_i とおく。
ここで右辺の和の i は J の元全体を動く。
J が空集合のときは S(J) = 0 とする。

同様に K の有限部分集合全体の集合を Φ(K) とする。
H ∈ Φ(K) に対して T(H) = Σx_φ(k) とおく。
ここで右辺の和の k は H の元全体を動く。
H が空集合のときは T(H) = 0 とする。
T(H) = S(φ(H)) である。

G の単位元の任意の近傍 V に対して J_0 ∈ Φ(I) があり、
J_0 ⊂ J となる任意の J ∈ Φ(I) に対して S(J) ∈ S + V となる。

H_0 = φ^(-1)(J_0) とおく。
H_0 ⊂ H となる H ∈ Φ(K) に対して J = φ(H) とおく。
φ は全単射だから J_0 = φ(H_0) である。
H_0 ⊂ H だから J_0 ⊂ J である。
よって S(J) = S(φ(H)) ∈ S + V
即ち、T(H) ∈ S + V
これは S = Σx_φ(k) を意味する。
証明終