命題
G を位相アーベル群とする。
X を G の部分空間とする。
Φ を X の Cauchy フィルター(>>130)とする。
Φ_0 を Φ のフィルター基底とする。

V を G の単位元 0 の対称基本近傍系 Γ 全体を動かし、
M を Φ_0 の元全体を動かしたときの
V(M) ∩ X 全体を Ψ_0 とする。

Ψ_0 は X の Cauchy フィルター基底(>>130)であり、
Ψ_0 が生成する X のフィルター Ψ は Φ に含まれる
X の唯一の極小 Cauchy フィルター(>>133)である。

証明
M, N を Φ_0 の元とし、
V, W を Γ の元とする。

L ⊂ M ∩ N となる L ∈ Φ_0 と
U ⊂ V ∩ W となる U ∈ Γ がある。

U(L) ⊂ V(M) ∩ W(N) である。

従って、
U(L) ∩ X ⊂ V(M) ∩ W(N) ∩ X である。

よって Ψ_0 は X の Cauchy フィルター基底である。

(続く)